Родригес — воспитанник столичного клуба «Альянса». 10 октября 2016 года в матче против «Тауро» он дебютировал в чемпионате Панамы[1]. 31 марта 2019 года в поединке против «Санта Гемы» Томас забил свой первый гол за «Альянсу»[2]. В 2020 году Родригес перешёл в «Спортинг Сан-Мигелито». 25 октября в матче против «Потрос дель Эсте» он дебютировал за новую команду[3]. В этом же поединке Томас забил свой первый гол за «Спортинг Сан-Мигелито».
В 2024 году Родригес перешёл в венесуэльский «Монагас». 3 февраля в матче против «Метрополитанос» он дебютировал в венесуэльской Примере[4]. 24 февраля в поединке против «Умесита» Томас забил свой первый гол за «Монагас»[5]. В своём дебютном сезоне игрок стал лучшим бомбардиром чемпионата.