Родригес — воспитанник клуба «Реал Мадрид». В 2017 году для получения игровой практики Оскар начал выступать за дублирующий состав. 28 ноября 2018 года в поединке Кубка Испании против «Фуэнлабрада» Родригес дебютировал за основной состав[3]. Летом 2018 года Родригес был арендован клубом «Леганес». 16 сентября в матче против «Вильярреала» он дебютировал в Ла Лиге[4]. 26 сентября в поединке против «Барселоны» Оскар забил свой первый гол за «Леганес»[5].
Летом 2020 года Родригес перешёл в «Севилью». Сумма трансфера составила 13,5 млн. евро[6][7]. 27 сентября в матче против «Кадиса» он дебютировал за новый клуб[8].