Прохазка — воспитанник клуба «Спартак» из своего родного города. 13 мая 2007 года в матче против «Элдус Моченок» он дебютировал в чемпионате Словакии в возрасте 18 лет. В 2012 году Прохазка перешёл в болгарский «Левски». 11 августа в матче против бургасского «Черноморца» он дебютировал в чемпионате Болгарии[2]. По окончании сезона Роман на правах аренды вернулся в транвский «Спартак». Летом 2014 года он вновь присоединился к «Левски». 2 августа в поединке против столичного «Локомотива» Роман забил свой первый гол за команду[3].
Летом 2018 года Прохазска перешёл в пльзеньскую «Викторию». 20 июля в матче против столичной «Дуклы» он дебютировал в Гамбринус лиге[4]. 4 августа в поединке против «Сигмы» Роман забил свой первый гол за «Викторию»[5].