Салаи — воспитанник клуба «Вашаш». В 2012 году он подписал контракт с венским «Рапидом». Для получения игровой практики Аттила выступал за дублирующий состав. 11 мая 2016 года в матче против «Альтаха» он дебютировал в австрийской Бендеслиге[2]. Летом 2017 года в поисках игровой практики Салаи вернулся на родину подписав контракт с клубом «Мезёкёвешд». 30 июля в матче против «Ференцвароша» он дебютировал в чемпионате Венгрии[3]. 21 июля 2018 года в поединке против «Пакша» Аттила забил свой первый гол за «Мезёкёвешд»[4].
Летом 2019 года Салаи перешёл в лимасольский «Аполлон». 14 сентября в матче против «Пафоса» он дебютировал в чемпионате Кипра[5]. 20 августа в поединке против «Эрмиса» Аттила забил свой первый гол за «Аполлон»[6].
В начале 2021 года Салаи подписал контракт с турецким «Фенербахче» на 4,5 года[7]. 25 января в матче против «Кайсериспора» он дебютировал в турецкой Суперлиге[8]. 8 марта в поединке против «Коньяспора» Аттила забил свой первый гол за «Фенербахче»[9].
21 января 2024 года был отдан в аренду до конца сезона во «Фрайбург»[13][14][15]. 27 января в матче против «Вердера» он дебютировал за новую команду[16]. По окончании аренды игрок вернулся в «Хоффенхайм».
