Салтнес — воспитанник клуба «Брённёйсунн». В 2009 году он дебютировал за основной состав. В 2011 году Салтнес перешёл в «Будё-Глимт». 15 апреля 2012 года в матче против «Алта» он дебютировал в Первом дивизионе Норвегии[2]. 14 октября в поединке против «Сарпсборг 08» Ульрик забил свой первый гол за «Будё-Глимт»[3]. В 2014 году Салтнес помог клубу выйти в элиту. 16 мая в матче против «Бранна» он дебютировал в Типпелиге[4]. В 2020 и 2021 годах Ульрик дважды стал чемпионом Норвегии. В 2021 году в розыгрыше Лиги конференций в матчах против украинской «Зари»[5] и итальянской «Ромы»[6] он забил по голу.