Свенссон начал карьеру в клубе «Хальмстад». В 1990 году он дебютировал за основной состав в Алсвенскан лиге. В 1995 году Томми помог команде завоевать Кубок Швеции, а в 1997 и 2000 годах дважды стал чемпионом Швеции. В 2003 году Свенссон перешёл в АИК, где провёл два сезона. В 2005 году игрок покинул Швецию и полгода провёл в кипрском «Эносисе». Летом того же года Томми вернулся на родину, где выступал за «Эльфсборг», «Хеккен» и «Мальмё». В 2006 году он завершил карьеру.
