Меню Главная Случайная статья Настройки Свободная абелева группа Материал из https://ru.wikipedia.org Свободная абелева группа (свободный ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль) — абелева группа, имеющая базис, то есть такое подмножество элементов группы, что для любого её элемента существует единственное его представление в виде линейной комбинации базисных элементов с целыми коэффициентами, из которых только конечное число являются ненулевыми. Элементы свободной абелевой группы с базисом ${\displaystyle B}$ называют также формальными суммами над ${\displaystyle B}$. Свободные абелевы группы и формальные суммы используются в алгебраической топологии при определении групп цепей и в алгебраической геометрии при определении дивизоров. Как и векторные пространства, свободные абелевы группы классифицируются мощностью базиса; эта мощность не зависит от выбора базиса и называется рангом группы[1][2]. Например, группа ${\displaystyle G=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \simeq \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} =\mathbb {Z} ^{2}}$ — прямая сумма двух копий бесконечной циклической группы ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — свободная абелева группа ранга 2, так как имеет базис ${\displaystyle B=\lbrace e_{1},e_{2}\rbrace }$, где ${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$ и ${\displaystyle e_{2}=(0,1)}$. Произвольный элемент ${\displaystyle (n,m)}$ группы ${\displaystyle G}$ единственным образом представляется в виде их линейной комбинации: ${\displaystyle (n,m)=ne_{1}+me_{2}}$. Более общо, свободной абелевой группой является любая решётка в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$[3]. Никакая конечная абелева группа, кроме тривиальной, не является свободной (так как свободная абелева группа не имеет кручения). Содержание 1 Формальные суммы 2 Универсальное свойство 3 Подгруппа 4 Кручение и делимость 5 Прямые суммы и произведения 6 Примечания Формальные суммы Для любого множества ${\displaystyle B}$ можно определить группу ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$, элементы которой — функции из ${\displaystyle B}$ во множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, а скобки обозначают тот факт, что все функции принимают ненулевые значения не более чем на конечном множестве. Сложение функций определяется поточечно: ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$, относительно этого сложения ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ образует свободную абелеву группу, базис которой находится во взаимно-однозначном соответствии со множеством ${\displaystyle B}$. Действительно, любому элементу ${\displaystyle x}$ множества ${\displaystyle B}$ можно сопоставить функцию ${\displaystyle e_{x}}$, такую что ${\displaystyle e_{x}(x)=1}$ и ${\displaystyle e_{x}(y)=0}$ для всех элементов ${\displaystyle y}$ из множества ${\displaystyle B}$ таких, что ${\displaystyle y\neq x}$. Любая функция ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ представима единственным образом в виде конечной линейной комбинации базисных функций: ${\displaystyle f=\sum _{\{x\mid f(x)\neq 0\}}f(x)e_{x}}$. Группа ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{(B)}}$ с базисом ${\displaystyle \{e_{x}\}_{x\in B}}$ единственна с точностью до изоморфизма; её элементы называются формальными суммами элементов ${\displaystyle B}$. Универсальное свойство Свободные группы можно охарактеризовать с помощью следующего универсального свойства: функция ${\displaystyle b}$ из множества ${\displaystyle B}$ в абелеву группу ${\displaystyle F}$ является вложением базиса в эту группу, если для любой функции ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle B}$ в произвольную абелеву группу ${\displaystyle A}$ существует единственный гомоморфизм групп ${\displaystyle G\colon F\to A}$ такой, что ${\displaystyle g=G\circ b}$. Как и для любого универсального свойства, удовлетворяющий этому свойству объект автоматически единственнен с точностью до изоморфизма, поэтому данное универсальное свойство можно использовать для доказательства того, что все другие определения свободной группы с базисом ${\displaystyle B}$ эквивалентны. Подгруппа Подгруппа свободной абелевой группы также является свободной абелевой группой. Доказательство этого свойства зависит от аксиомы выбора[4]; в различных учебниках используются разные варианты доказательства, например, в «Алгебре» Ленга приводится доказательство, использующее лемму Цорна[5], тогда как Соломон Лефшец и Ирвинг Капланский использовали принцип вполне упорядочивания, считая такое доказательство более интуитивным[6]. В случае конечнопорождённых групп доказательство более простое и позволяет получить более точный результат: подгруппа ${\displaystyle G}$ конечнопорождённой свободной группы ${\displaystyle F}$ свободна, притом существует базис ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ группы ${\displaystyle F}$ и натуральные числа ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$ (то есть каждое из чисел делит последующее), такие что ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ образуют базис ${\displaystyle G}$. Более того, последовательность ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ зависит только от ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$, но не от выбора базиса[1]. Кручение и делимость Все свободные абелевы группы свободны от кручения, то есть не существует элемента группы ${\displaystyle x}$ и ненулевого числа ${\displaystyle n}$, таких что ${\displaystyle nx=0}$. Обратно, любая конечно порождённая свободная от кручения абелева группа свободна[7]. Аналогичные утверждения верны, если заменить слова «группа без кручения» на «плоская группа»: для абелевых групп плоскость эквивалентна отсутствию кручения. Группа рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — пример абелевой группы без кручения, не являющейся свободной. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно заметить, что группа рациональных чисел является делимой, тогда как в свободной группе никакой из элементов базиса не может быть кратен другому элементу[1]. Прямые суммы и произведения Любая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма некоторого множества копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (равномощного её рангу). Прямая сумма любого количества свободных абелевых групп также свободна; в качестве её базиса можно взять объединение базисов слагаемых[1]. Прямое произведение конечного числа свободных абелевых групп также является свободным и изоморфно их прямой сумме. Однако для произведения бесконечного числа групп это не верно; например, группа Баера — Шпекера ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }}$ (прямое произведение счётного числа копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) не является свободной абелевой[8][9]. В то же время, любая её счётная подгруппа является свободной абелевой[10]. Примечания 1 2 3 4 Hungerford, Thomas W. II.1 Free abelian groups // Algebra. — Springer, 1974. — Vol. 73. — P. 70–75. — (Graduate Texts in Mathematics). — [Архивировано 9 августа 2014 года.] Blass, Andreas. Injectivity, projectivity, and the axiom of choice // Transactions of the American Mathematical Society. — 1979. — Vol. 255. — P. 31–59. — doi:10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6.. Example 7.1 предоставляет модель теории множеств и несвободную проективную абелеву группу в этой модели, которая является подгруппой свободной абелевой группы ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ^{(A)}\right)^{n},}$ где ${\displaystyle A}$ — множество атомов. Baer, Reinhold. Abelian groups without elements of finite order // Duke Mathematical Journal. — 1937. — Vol. 3, № 1. — P. 68–122. — doi:10.1215/S0012-7094-37-00308-9. Specker, Ernst. Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen // Portugaliae Math. — 1950. — Vol. 9. — P. 131–140.