Меню Главная Случайная статья Настройки Скалярная кривизна Материал из https://ru.wikipedia.org Скалярная кривизна — два из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором. Обычно обозначается ${\displaystyle \mathrm {Sc} }$ или ${\displaystyle \mathrm {R} }$. Содержание 1 Определение 2 Уравнения гравитационного поля 3 Свойства 4 См. также 5 Примечания Определение Скалярную кривизну можно определить как след тензора Риччи или как удвоенный след оператора кривизны. Пользуясь соглашением Эйнштейна, это можно записать через компоненты метрического тензора ${\displaystyle g}$ и тензора Риччи ${\displaystyle \mathrm {Ric} }$ ${\displaystyle R=g^{\mu \nu }\,\mathrm {Ric} _{\mu \nu }.}$ Уравнения гравитационного поля В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объёму от скалярной кривизны: ${\displaystyle S_{G}=\varkappa \int \limits _{M}R}$ Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны ${\displaystyle R}$[1]. Свойства Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия. Интеграл от гауссовой кривизны по компактной поверхности равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на ${\displaystyle 2\pi }$ — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне. См. также Кривизна римановых многообразий Задача Ямабе Примечания Научная Сеть >> Теория относительности для астрономов  (неопр.). Дата обращения: 22 ноября 2009. Архивировано 21 октября 2016 года.