Меню Главная Случайная статья Настройки Скобка Айверсона Материал из https://ru.wikipedia.org Скобка Айверсона — функция, возвращающая 1 для истинного высказывания, и 0, если аргумент ложный: ${\displaystyle [\,P\,]={\begin{cases}1,&{\text{если }}P{\text{ истинно}}\\0,&{\text{если }}P{\text{ ложно}}\end{cases}}}$ Нотация введена Кеннетом Айверсоном для языка программирования APL, и оказалась очень удобным математическим обозначением, например, с ним можно лаконично определить: символ Кронекера: ${\displaystyle \delta _{ij}=[\,i=j\,]}$, индикаторную функцию: ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[\,x\in A\,]}$, функцию Хевисайда: ${\displaystyle \theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]}$, функцию знака числа: ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=[\,x>0\,]-[\,x<0\,]}$. Также нотация удобна при обращении с суммами, поскольку позволяет выражать их без ограничений на индекс суммирования, например: ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{k}a_{k}[\,1\leqslant k\leqslant n\,]}$, то есть индекс ${\displaystyle k}$ пробегает всё множество ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ целых чисел, и формально суммируется бесконечное число слагаемых, но лишь конечное число их отлично от нуля. Пример вычисления с использованием нотации Айверсона суммы ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j}}$ для последовательности ${\displaystyle \{a_{i}\}}$: ${\displaystyle [\,i<j\,]+[\,i=j\,]+[\,i>j\,]=1}$, ${\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i=j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}}$, ${\displaystyle S+\sum \limits _{i}a_{i}^{2}+S={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2}}$, а так как для правой части: ${\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}a_{i}\sum \limits _{j}a_{j}={\biggl (}\sum \limits _{i}a_{i}{\biggr )}^{2}}$, то: ${\displaystyle S=\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{i}a_{j}={\frac {1}{2}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\biggr )}^{2}-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}$. Литература Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.