Меню Главная Случайная статья Настройки Скорость сходимости Материал из https://ru.wikipedia.org Скорость сходимости является основной характеристикой численных методов решения уравнений и оптимизации. Понятие скорости сходимости Пусть ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ — сходящаяся последовательность приближений некоторого алгоритма нахождения корня уравнения или экстремума функции ${\displaystyle x^{*}}$, тогда: Говорят, что метод обладает линейной сходимостью, если ${\displaystyle \exists \alpha \in (0,\;1):\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||}$. Говорят, что метод обладает сходимостью степени ${\displaystyle \beta }$, если ${\displaystyle \exists \alpha \in (0,\;1]:\quad \exists N\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq N\quad ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta }}$. Отметим, что обычно скорость сходимости методов не превышает квадратичной. В редких случаях метод может обладать кубической скоростью сходимости (метод Чебышёва). Практическое определение Пусть ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ — последовательность приближений рассматриваемого алгоритма нахождения корня ${\displaystyle x^{*}}$ некоторого уравнения, тогда скорость сходимости ${\displaystyle \beta }$ определяют из уравнения: ${\displaystyle ||x_{n}-x^{*}||<\alpha ||x_{n-1}-x^{*}||^{\beta }}$ Для упрощения его переписывают в виде: ${\displaystyle \log ||x_{n}-x^{*}||<\log \alpha +\beta \log ||x_{n-1}-x^{*}||}$ Непосредственно скорость сходимости оценивают по тангенсу угла наклона логарифмического графика зависимости ${\displaystyle ||x_{n}-x^{*}||}$ от ${\displaystyle ||x_{n-1}-x^{*}||}$. Литература по теме Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.