Монтаньо начал карьеру в клубе «Эль Насьональ». 13 сентября 2009 года в матче против «ЛДУ Портевьехо» он дебютировал за команду в эквадорской Серии А[1]. 20 сентября в поединке против ЭСПОЛИ Эдсон забил свой первый гол за клуб[2]. Летом 2010 года Монатаньо перешёл в бельгийский «Гент». 25 сентября в поединке против «Сент-Трюйдена» он дебютировал в Жюпиле лиге[3]. Из-за высокой конкуренции ему пришлось вскоре вернуться на родину. Новым клубом Эдсона стала «Барселона» из Гуаякиль, в составе которой выиграл чемпионат. В начале 2013 года Монтаньо на правах аренды вернулся в родной «Эль Насьональ».