Александр Слуцкий учился в Новосибирской консерватории по классу скрипки. Будучи студентом консерватории, он играл в Новосибирском академическом симфоническом оркестре под управлением Арнольда Каца. С 1969 по 1973 год Слуцкий был солистом Кемеровской государственной филармонии. В 1973 году он стал артистом Госоркестра СССР под управлением Евгения Светланова. Затем Александр Слуцкий занялся дирижированием. Пройдя мастер-класс финского дирижёра Йормы Панулы, он стал сотрудничать с несколькими московскими оркестрами в качестве приглашённого дирижёра и стал вторым дирижёром Госоркестра России. Этот оркестр под управлением Слуцкого ежегодно принимает участие в госэкзаменах кафедры композиции Московской консерватории. Александр Слуцкий также руководит концертами абонемента Московской филармонии «Молодые таланты».