Меню Главная Случайная статья Настройки Смешанная частная производная Материал из https://ru.wikipedia.org Содержание 1 Определение 2 Обозначение 3 Свойства 4 Пример Шварца 5 Теорема Шварца 5.1 Пример 6 Примечания Определение Пусть функция ${\displaystyle z=f(x,\;y)}$, и её частные производные ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},\;{\frac {\partial f}{\partial y}}}$ определены в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$. Тогда предел ${\displaystyle \lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\displaystyle {{\frac {\partial f(x_{0},y_{0}+\Delta y)}{\partial x}}-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x}}}}{\Delta y}},}$ если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции ${\displaystyle f(x,\;y)}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$ и обозначается ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}}$. Аналогично определяется ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}}$ как ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\displaystyle {{\frac {\partial f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0})}{\partial y}}-{\frac {\partial f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y}}}}{\Delta x}},}$ если он существует. Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.[уточнить] Обозначение ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}=f''_{yx}=z''_{yx}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=f''_{xy}=z''_{xy}}$ Свойства Если смешанные производные непрерывны в точке, то имеет место равенство ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$ . Пример Шварца ${\displaystyle f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {xy{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}},\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial x\partial y}}=-1\neq 1={\frac {\partial ^{2}f(0,\;0)}{\partial y\partial x}}}$ То есть смешанные производные в примере Шварца не равны. Имеет место теорема о равенстве смешанных производных Теорема Шварца Пусть выполнены условия: функции ${\displaystyle z=f(x,\;y),\;{\frac {\partial f}{\partial x}},\;{\frac {\partial f}{\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$ определены в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$. ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}}$ непрерывны в точке ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0})}$. Тогда ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}}$, то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны. Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны. Тем не менее, условие непрерывности смешанных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца. Пример ${\displaystyle f(x,\;y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}},\quad x^{2}+y^{2}>0\\0,\quad x=y=0\end{cases}}\Rightarrow }$ смешанные производные второго порядка равны всюду (в том числе и в точке ${\displaystyle (0,\;0)}$), однако частные производные второго порядка не являются непрерывными в точке ${\displaystyle (0,\;0)}$ Так как ${\displaystyle f(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} ,f(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R} }$, то ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,\;0)={\frac {\partial f}{\partial y}}(0,\;0)=0}$ В остальных точках ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\;y)={\frac {2xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,\;y)={\frac {2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$ Таким образом, ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,\;0)=0\;\forall x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,\;y)=0\;\forall y\in \mathbb {R} }$ Следовательно, ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}=0}$ При ${\displaystyle (x,\;y)\neq (0,\;0)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},\;y_{0})}{\partial y\partial x}}={\frac {8x^{3}y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}}}$ Легко видеть, что вторая смешанная производная имеет разрыв в точке ${\displaystyle (0,\;0)}$, так как ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,\;x)=1}$, а, например, ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,\;-x)=-1}$ [1]. Примечания Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Глава 5. Функции многих переменных // Курс математического анализа. — 2-е изд. — М.: МФТИ, 1997. — С. 283. — 716 с. — ISBN 5-89155-006-7.