Меню Главная Случайная статья Настройки Смешанное произведение Материал из https://ru.wikipedia.org Смешанное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$ — скалярное произведение вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ на векторное произведение векторов ${\displaystyle \mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)}$. Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр). Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} }$. Содержание 1 Свойства 2 Обобщение 3 См. также 4 Примечания 5 Источники 6 Ссылки Свойства Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {a} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-(\mathbf {b} ,\mathbf {a} ,\mathbf {c} )=-(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=-(\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {b} );}$ т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что ${\displaystyle \langle \mathbf {a} ,[\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]\rangle =\langle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ],\mathbf {c} \rangle }$ Смешанное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.}$ Смешанное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$, взятому со знаком «минус»: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.}$ В частности, Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю. Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю. Геометрический смысл — Смешанное произведение ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$ по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой. Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими[1]. Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\sum _{i,j,k}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}}$ (в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов). Обобщение В ${\displaystyle n}$-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы ${\displaystyle n\times n}$, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный ${\displaystyle n}$-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика). В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности: ${\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots )=\sum _{i,j,k,\ldots }\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots }$ В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение. См. также Двойное векторное произведение Векторное произведение Скалярное произведение Псевдоскалярное произведение Примечания Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах, 1985, Глава 4. Векторное и смешанное произведения. § 4. Смешанное произведение векторов… Пример 19*, с. 215. Источники Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов инж.-тех. спец. вузов. М.: Высшая школа, 1985. 232 с., ил. Ссылки Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач