Начал заниматься фигурным катанием с 8 лет. С 11 лет начал тренироваться в ДЮСШ ЦСКА, его тренером в это время был Сергей Ческидов. Выступал с Еленой Батановой. В 1980 и 1981 годах пара становилась чемпионами мира среди юниоров. На чемпионате страны 1983 года были на четвёртом месте, а в 1984 году заняли первое место. На чемпионатах мира этих лет они заняли восьмое и седьмое место. Алексей Соловьёв работал в 1978—1985 годах инструктором по физической культуре и спорту в ЦСКА. Мастер спорта СССР международного класса.