Меню Главная Случайная статья Настройки Состояние Фока Материал из https://ru.wikipedia.org Фоковское состояние — это квантовомеханическое состояние с точно определённым количеством частиц. Названо в честь советского физика В. А. Фока. Содержание 1 Свойства фоковских состояний 1.1 Состояния Фока не являются собственными функциями гамильтониана в общем случае 2 Энергия состояний 3 Вакуумные флуктуации 4 Примечания 5 См. также 6 Ссылки Свойства фоковских состояний В фоковском состоянии ${\displaystyle |n\rangle }$ находится n частиц, где n — целое число. В основном состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$ нет ни одного кванта. Часто ${\displaystyle |0\rangle }$ также называют вакуумным состоянием. При рассмотрении вторичного квантования состояния Фока формируют самый удобный базис пространства Фока. Действие операторов рождения и уничтожения на них весьма просто. Они подчиняются следующим соотношениям статистики Бозе — Эйнштейна (случай частиц с целым спином): ${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$ ${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }$ ${\displaystyle |n\rangle ={1 \over {\sqrt {n!}}}(a^{\dagger })^{n}|0\rangle }$ где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a^{\dagger }}$ — являются операторами уничтожения и рождения соответственно. Похожие соотношения выполняются для статистики Ферми — Дирака (для частиц с полуцелым спином). Из этих соотношений следует, что ${\displaystyle <a^{\dagger }a>=n}$ и ${\displaystyle Var(a^{\dagger }a)=0,}$ таким образом, измерение числа частиц ${\displaystyle a^{\dagger }a}$ в состоянии Фока всегда даёт определённое значение без флуктуаций. Состояния Фока не являются собственными функциями гамильтониана в общем случае В формализме вторичного квантования плотность гамильтониана даётся выражением ${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$[1], и общий гамильтониан записывается так: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$ В свободной теории Шрёдингера (т. е. для не взаимодействующих частиц в нерелятивистском приближении)[1] ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$ и ${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$ и ${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$, где ${\displaystyle a_{n}}$ — оператор уничтожения. ${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$ Только для невзаимодействующих частиц ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ и ${\displaystyle a_{n}}$ коммутируют; в общем случае они не коммутируют. Для невзаимодействующих частиц ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$ Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь вышеуказанного выражения. Следовательно, в общем случае фоковские состояния не являются состояниями системы с определённым значением энергии. Энергия состояний Фоковские состояния являются собственными функциями гамильтониана поля ${\displaystyle H=\hbar \omega (a^{\dagger }a+1/2)}$: ${\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle ,}$ где ${\displaystyle E_{n}}$ — энергия соответствующего состояния ${\displaystyle |n\rangle }$. При подстановке гамильтониана в приведённое выше выражение получим: ${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)|n\rangle }$ Следовательно, энергия состояния ${\displaystyle |n\rangle }$ равна ${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$, где ${\displaystyle \omega }$ — частота поля. Ещё раз отметим, что энергия нулевого (основного) состояния с ${\displaystyle n=0}$ отлична от нуля, и её называют нулевой энергией. Вакуумные флуктуации См. также Частота Раби Вакуумное состояние, или ${\displaystyle |0\rangle }$, есть состояние с наименьшей энергией. Для него ${\displaystyle a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }.}$ Электрическое и магнитное поля и векторный потенциал имеют одинаковый вид: ${\displaystyle F({\vec {r}},t)=\varepsilon ae^{i(({\vec {k}}\cdot {\vec {r}})-\omega t)}+}$ ${\displaystyle h.c.}$ Легко заметить, что величина оператора поля этого состояния исчезает в вакуумном состоянии: ${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0.}$ Однако можно показать, что квадрат оператора поля не равен нулю. Вакуумные флуктуации ответственны за многие интересные явления в квантовой оптике, например, такие, как сдвиг Лэмба и сила Казимира. Примечания 1 2 Gross, 1999, p. 189. См. также Квантовый гармонический осциллятор Ссылки Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2. Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, [пер. с англ. ], M., 1963. Хоружий С. С., Введение в алгебраическую квантовую теорию поля, М., 1986. Franz Gross. Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory. — Wiley-VCH, 1999. — ISBN 0471353868.