Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
В статье суммируется информация о классах дискретных групп симметрии евклидовой плоскости. Группы симметрии, приведённые здесь, именуются по трём схемам именования: международная нотация, орбифолдная нотация[англ.] и нотация Коксетера[англ.].
Существует три вида групп симметрии на плоскости:
Содержание
Точечные группы симметрии
На плоскости имеется точка, инвариантная относительно каждого преобразования. Существует два бесконечных семейства дискретных двумерных точечных групп. Группы определяются параметром n, равным порядку подгруппы вращений. Также параметр n равен показателю группы.
| Семейство
|
Межд.
(орбифолд[англ.])
|
Шёнфлиса
|
Геом. [1]
Коксетер[англ.]
|
Порядок
|
Примеры
|
| Циклические группы
|
n
(n•)
|
Cn
|
n
[n]+
|
n
|
C1, [ ]+ (•)
|
C2, [2]+ (2•)
|
C3, [3]+ (3•)
|
C4, [4]+ (4•)
|
C5, [5]+ (5•)
|
C6, [6]+ (6•)
|
| Диэдральные группы
|
nm
(*n•)
|
Dn
|
n
[n]
|
2n
|
D1, [ ] (*•)
|
D2, [2] (*2•)
|
D3, [3] (*3•)
|
D4, [4] (*4•)
|
D5, [5] (*5•)
|
D6, [6] (*6•)
|
Группа бордюров
На плоскости имеется прямая, которая переходит в себя при каждом преобразовании. При этом отдельные точки этой прямой могут не оставаться неподвижными.
7 групп бордюров, двумерных рёберных групп[англ.]. Символы Шёнфлиса даны как бесконечные пределы 7 диэдральных групп. Жёлтые области представляют бесконечные фундаментальные области для каждого бордюра.
[2,+],
IUC
(Орбифолд)
|
Геом.
|
Шёнфлис
|
Коксетер
|
Фундаментальная
область
|
Пример
|
p11g
() |
p.g1 |
S2 |
[2+,+]
|
|
|
p11m
(*) |
p. 1 |
Ch |
[2,+]
|
|
|
[2,],
IUC
(Орбифолд)
|
Геом.
|
Шёнфлис
|
Коксетер
|
Фундаментальная
область
|
Пример
|
p2
(22) |
p2 |
D |
[2,]+
|
|
|
p2mg
(2*) |
p2g |
Dd |
[2+,]
|
|
|
p2mm
(*22) |
p2 |
Dh |
[2,]
|
|
|
Группы обоев
17 групп обоев с конечными фундаментальными областями, упорядоченные по международной нотации, орбифолдной нотации[англ.] и нотации Коксетера[англ.] и классифицированы 5 решётками Браве на плоскости: квадратной, скошенной (параллелограммной), шестиугольной (ромбы с углами 60 градусов), прямоугольной и ромбической.
Группы p1 и p2 с зеркальной симметрией встречаются во всех классах. Связанная чистая группа Коксетера отражений дана для всех классов, за исключением косых.
Квадрат
[4,4],
IUC
(Орб.[англ.])
Геом.
|
Коксетер[англ.]
|
Фундаментальная
область
|
p1
(°)
p1 |
|
|
p2
(2222)
p2 |
[4,1+,4]+
[1+,4,4,1+]+
|
|
pgg
(22)
pg2g |
[4+,4+]
|
|
pmm
(*2222)
p2 |
[4,1+,4]
[1+,4,4,1+]
|
|
cmm
(2*22)
c2 |
[(4,4,2+)]
|
|
p4
(442)
p4 |
[4,4]+
|
|
p4g
(4*2)
pg4 |
[4+,4]
|
|
p4m
(*442)
p4 |
[4,4]
|
|
|
Прямоугольный
[h,2,v],
IUC
(Orb.)
Геом.
|
Коксетер
|
Фундаментальная
область
|
p1
(°)
p1 |
[+,2,+]
|
|
p2
(2222)
p2 |
[,2,]+
|
|
pg(h)
()
pg1
|
h: [+,(2,)+]
|
|
pg(v)
()
pg1 |
v: [(,2)+,+]
|
|
pgm
(22*)
pg2 |
h: [(,2)+,]
|
|
pmg
(22*)
pg2 |
v: [,(2,)+]
|
|
pm(h)
(**)
p1 |
h: [+,2,]
|
|
pm(v)
(**)
p1 |
v: [,2,+]
|
|
pmm
(*2222)
p2 |
[,2,]
|
|
|
Ромбический
[h,2+,v],
IUC
(Orb.)
Геом.
|
Коксетер
|
Фундаментальная
область
|
p1
(°)
p1 |
[+,2+,+]
|
|
p2
(2222)
p2 |
[,2+,]+
|
|
cm(h)
(*)
c1 |
h: [+,2+,]
|
|
cm(v)
(*)
c1 |
v: [,2+,+]
|
|
pgg
(22)
pg2g |
[((,2)+)[2]]
|
|
cmm
(2*22)
c2 |
[,2+,]
|
|
|
Шестиугольная/Треугольная
[6,3], / [3[3]],
p1
(°)
p1 |
|
|
p2
(2222)
p2 |
[6,3] |
|
cmm
(2*22)
c2 |
[6,3] |
|
p3
(333)
p3 |
[1+,6,3+]
[3[3]]+
|
|
p3m1
(*333)
p3 |
[1+,6,3]
[3[3]]
|
|
p31m
(3*3)
h3 |
[6,3+]
|
|
p6
(632)
p6 |
[6,3]+
|
|
p6m
(*632)
p6 |
[6,3]
|
|
|
Взаимосвязь подгрупп обоев
В приведенной ниже таблице на пересечении строки, соответствующей группе , и столбца, соответствующего группе , находится минимальный индекс подгруппы , изоморфной . На диагонали находится минимальный индекс собственной подгруппы, изоморфной объемлющей группе.
Взаимосвязь подгрупп 17-и групп обоев [2]
|
|
o |
2222 |
|
** |
* |
22 |
22* |
*2222 |
2*22 |
442 |
4*2 |
*442 |
333 |
*333 |
3*3 |
632 |
*632
|
|
|
p1 |
p2 |
pg |
pm |
cm |
pgg |
pmg |
pmm |
cmm |
p4 |
p4g |
p4m |
p3 |
p3m1 |
p31m |
p6 |
p6m
|
| o |
p1
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2222 |
p
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pg
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ** |
pm
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| * |
cm
|
2 |
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 22 |
pgg
|
4 |
2 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 22* |
pmg
|
4 |
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| *2222 |
pmm
|
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
4 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2*22 |
cmm
|
4 |
2 |
4 |
4 |
2 |
2 |
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| 442 |
p4
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
| 4*2 |
p4g
|
8 |
4 |
4 |
8 |
4 |
2 |
4 |
4 |
2 |
2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
| *442 |
p4m
|
8 |
4 |
8 |
4 |
4 |
4 |
4 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
| 333 |
p3
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
| *333 |
p3m1
|
6 |
|
6 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
3 |
|
|
| 3*3 |
p31m
|
6 |
|
6 |
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
| 632 |
p6
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
| *632 |
p6m
|
12 |
6 |
12 |
12 |
6 |
6 |
6 |
6 |
3 |
|
|
|
4 |
2 |
2 |
2 |
3
|
См. также
Примечания
- Hestenes, Holt, 2007.
- H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups. Berlin:Springer, 1972. § 4.6, Table 4
Литература- D. Hestenes[англ.], J. Holt. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra // Journal of Mathematical Physics.. — 2007. — Т. 48, 023514.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — A.K. Peters, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5. (Orbifold notation for polyhedra, Euclidean and hyperbolic tilings)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
Ссылки
|
|
