Меню Главная Случайная статья Настройки Спорадическая группа Материал из https://ru.wikipedia.org Спорадическая группа — одна из 26 исключительных групп в теореме о классификации простых конечных групп. Простая группа — это группа G, не содержащая каких-либо нормальных подгрупп, отличных от самой группы G и тривиальной (единичной) подгруппы. Теорема классификации утверждает, что список конечных простых групп[англ.] состоит из 18 счётных бесконечных семейств, плюс 26 исключений, которые не попадают в эту классификацию. Эти исключения называются спорадическими группами. Они также известны под названиями «спорадические простые группы» или «спорадические конечные группы». Поскольку группа Титса не является строго группой лиева типа, иногда она также считается спорадической[1] и в этом случае является 27-й спорадической группой. Группа Монстр является наибольшей среди спорадических групп и содержит в качестве подгрупп или подфакторгрупп[англ.] все, за исключением шести, другие спорадические группы. Содержание 1 Имена спорадических групп 2 Система 2.1 I. Парии 2.2 II. Счастливое Семейство 2.2.1 Первое поколение (5 групп) — группы Матьё 2.2.2 Второе поколение (7 групп) — решётка Лича 2.2.3 Третье поколение (8 групп) — другие подгруппы Монстра 3 Таблица порядков спорадических групп 4 Примечания 5 Литература 6 Ссылки Имена спорадических групп Пять спорадических групп обнаружил Матьё в 1860-х годах, остальные 21 найдены между 1965 и 1975 годами. Существование нескольких из этих групп было предсказано до их построения. Позднее было доказано, что этим окончательно завершён полный поиск. Большинство групп носят имена математиков, первыми предсказавшими их существование. Полный список групп: группы Матьё M11[англ.], M12[англ.], M22[англ.], M23[англ.], M24[англ.] группы Янко J1[англ.], J2 или HJ, J3 или HJM[англ.], J4[англ.] Группы Конвея Co1, Co2[англ.], Co3[англ.] Группы Фишера Fi22[англ.], Fi23[англ.], Fi24 или F3+[англ.] Группа Хигмана — Симса[англ.] HS Группа МакЛафлина[англ.] McL Группа Хельда[англ.] He или F7+, или F7 Группа Рудвалиса Ru Группа Судзуки[англ.] Suz или F3 Группа О'Нана[англ.] O’N Группа Харады — Нортона[англ.] HN или F5+, или F5 Группа Лайонса[англ.] Ly Группа Томпсона[англ.] Th или F3|3, или F3 Группа «малый Монстр»[англ.] B или F2+, или F2 Группа «Монстр» Фишера-Грейса M или F1 Группа Титса T иногда также считается спорадической группой (она почти лиева типа) и по этой причине по некоторым источникам число спорадических групп даётся как 27, а не 26. По другим источникам группа Титса не считается ни спорадической, ни группой лиева типа. Для всех спорадических групп были построены матричные представления над конечными полями. Наиболее раннее употребление термина «спорадическая группа» найдено у Бёрнсайда[2], где он говорит о группах Матьё: «Эти, по всей видимости, спорадические простые группы требуют более тщательного исследования, чем до сих пор получали». Диаграмма справа основывается на диаграмме Ронана[3]. Спорадические группы также имеют большое число подгрупп, не являющихся спорадическими, но на диаграмме они не представлены ввиду их огромного числа. Система Из 26 спорадических групп 20 находятся внутри группы «Монстр» в качестве подгрупп или подфакторгрупп[англ.]. I. Парии Шесть исключений J1, J3, J4, O’N, Ru и Ly иногда называют париями[англ.]. II. Счастливое Семейство Остальные двадцать групп называют Счастливым семейством (название дал Роберт Грайс[англ.]) и их можно разбить на три поколения. Группы Mn для n = 11, 12, 22, 23 и 24 являются кратно-транзитивными группами перестановок n точек. Все они являются подгруппами группы M24, которая является группой перестановок 24 точек. Все подфакторы[англ.] группы автоморфизмов решётки в 24-мерном пространстве, называемой решёткой Лича: Co1 — факторгруппа группы автоморфизмов по центру {±1} Co2 — стабилизатор вектора типа 2 (то есть длины 2) Co3 — стабилизатор вектора типа 3 (то есть длины 6) Suz — группа автоморфизмов, сохраняющих структуру (модуль центра) McL — стабилизатор треугольника типа 2-2-3 HS — стабилизатор треугольника типа 2-3-3 J2 — группа автоморфизмов, сохраняющих кватернионную структуру (модуль по центру). Состоит из подгрупп, которые тесно связаны с Монстром M: B или F2 имеет двойное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 2 в M Fi24 имеет тройное покрытие, являющееся централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3A») Fi23 является подгруппой Fi24 Fi22 имеет двойное покрытие, которое является подгруппой Fi23 Произведение Th = F3 и группы порядка 3 является централизатором элемента порядка 3 в M (класс сопряжённости «3C») Произведение HN = F5 и группы порядка 5 является централизатором элемента порядка 5 в M Произведение He = F7 и группы порядка 7 является централизатором элемента порядка 7 в M. Наконец, Монстр сам по себе считается принадлежащим этому поколению. (Эта серия продолжается и дальше — произведение M12 и группы порядка 11 является централизатором элемента порядка 11 в M.) Группа Титса также принадлежит этому поколению — существует подгруппа ${\displaystyle S_{4}\times {^{2}}{F_{4}(2)^{\prime }}}$, нормализующая 2C2 подгруппу B, порождающая подгруппу ${\displaystyle 2{\cdot }S_{4}\times {^{2}}F_{4}(2)^{\prime }}$, нормализующую некоторую подгруппу Q8 Монстра. ${\displaystyle {^{2}}F_{4}(2)^{\prime }}$ является также подгруппой групп Фишера Fi22, Fi23 и Fi24 и «малого Монстра» B. ${\displaystyle {^{2}}F_{4}(2)^{\prime }}$ является подгруппой группы-парии Рудвалиса Ru и не имеет других зависимостей со спорадическими простыми группами кроме перечисленных выше. Таблица порядков спорадических групп Группа Поколение Порядок (последовательность A001228 в OEIS) Значащих цифр Разложение Тройка Стандартных генераторов (a, b, ab)[4][5][6] Другие условия F1 или M третье 8080174247945128758864599049617107 57005754368000000000 81053 246 • 320 • 59 • 76 • 112 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71 2A, 3B, 29 F2 или B[англ.] третье 4154781481226426191177580544000000 41033 ${\displaystyle 2^{41}\cdot 3^{13}\cdot 5^{6}\cdot 7^{2}\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 47}$ 2C, 3A, 55 ${\displaystyle o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=23}$ Fi24' или F3+[англ.] третье 1255205709190661721292800 11024 221 • 316 • 52 • 73 • 11 • 13 • 17 • 23 • 29 2A, 3E, 29 ${\displaystyle o((ab)^{3}b)=33}$ Fi23[англ.] третье 4089470473293004800 41018 218 • 313 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 23 2B, 3D, 28 Fi22[англ.] третье 64561751654400 61013 217 • 39 • 52 • 7 • 11 • 13 2A, 13, 11 ${\displaystyle o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=12}$ F3 или Th[англ.] третье 90745943887872000 91016 215 • 310 • 53 • 72 • 13 • 19 • 31 2, 3A, 19 Ly[англ.] пария 51765179004000000 51016 28 • 37 • 56 • 7 • 11 • 31 • 37 • 67 2, 5A, 14 ${\displaystyle o(ababab^{2})=67}$ F5 или HN[англ.] третье 273030912000000 31014 214 • 36 • 56 • 7 • 11 • 19 2A, 3B, 22 ${\displaystyle o([a,b])=5}$ Co1 второе 4157776806543360000 41018 221 • 39 • 54 • 72 • 11 • 13 • 23 2B, 3C, 40 Co2[англ.] второе 42305421312000 41013 218 • 36 • 53 • 7 • 11 • 23 2A, 5A, 28 Co3[англ.] второе 495766656000 51011 210 • 37 • 53 • 7 • 11 • 23 2A, 7C, 17 O'N[англ.] пария 460815505920 51011 29 • 34 • 5 • 73 • 11 • 19 • 31 2A, 4A, 11 Suz[англ.] второе 448345497600 41011 213 • 37 • 52 • 7 • 11 • 13 2B, 3B, 13 ${\displaystyle o([a,b])=15}$ Ru пария 145926144000 11011 214 • 33 • 53 • 7 • 13 • 29 2B, 4A, 13 F7 или He[англ.] третье 4030387200 4109 210 • 33 • 52 • 73 • 17 2A, 7C, 17 McL[англ.] второе 898128000 9108 27 • 36 • 53 • 7 • 11 2A, 5A, 11 ${\displaystyle o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=7}$ HS[англ.] второе 44352000 4107 29 • 32 • 53 • 7 • 11 2A, 5A, 11 J4[англ.] пария 86775571046077562880 91019 221 • 33 • 5 • 7 • 113 • 23 • 29 • 31 • 37 • 43 2A, 4A, 37 ${\displaystyle o(abab^{2})=10}$ J3 или HJM[англ.] пария 50232960 5107 27 • 35 • 5 • 17 • 19 2A, 3A, 19 ${\displaystyle o([a,b])=9}$ J2 или HJ второе 604800 6105 27 • 33 • 52 • 7 2B, 3B, 7 ${\displaystyle o([a,b])=12}$ J1[англ.] пария 175560 2105 23 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19 2, 3, 7 ${\displaystyle o(abab^{2})=19}$ M24[англ.] первое 244823040 2108 210 • 33 • 5 • 7 • 11 • 23 2B, 3A, 23 ${\displaystyle o(ab(abab^{2})^{2}ab^{2})=4}$ M23[англ.] первое 10200960 1107 27 • 32 • 5 • 7 • 11 • 23 2, 4, 23 ${\displaystyle o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=8}$ M22[англ.] первое 443520 4105 27 • 32 • 5 • 7 • 11 2A, 4A, 11 ${\displaystyle o(abab^{2})=11}$ M12[англ.] первое 95040 1105 26 • 33 • 5 • 11 2B, 3B, 11 M11[англ.] первое 7920 8103 24 • 32 • 5 • 11 2, 4, 11 ${\displaystyle o((ab)^{2}(abab^{2})^{2}ab^{2})=4}$ Примечания Например, согласно Конвею. Burnside, 1911, с. 504, note N. Ronan, 2006. Wilson RA. An Atlas of Sporadic Group Representations  (неопр.) (1998). Дата обращения: 7 января 2018. Архивировано 4 января 2018 года. Nickerson SJ, Wilson RA. Semi-Presentations for the Sporadic Simple Groups  (неопр.) (2000). Wilson RA, Parker RA, Nickerson SJ, Bray JN. Atlas: Sporadic Groups  (неопр.) (1999). Дата обращения: 7 января 2018. Архивировано 8 января 2012 года. Литература William Burnside. Theory of groups of finite order. — 1911. — С. 504 (note N). — ISBN 0-486-49575-2. Conway J. H. A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1968. — Т. 61, вып. 2. — С. 398–400. — doi:10.1073/pnas.61.2.398. — . Ссылки Weisstein, Eric W. Sporadic Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups