Меню Главная Случайная статья Настройки Среднее геометрическое взвешенное Материал из https://ru.wikipedia.org Среднее геометрическое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего геометрического. Для набора неотрицательных вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ с вещественными весами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$, такими что ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}\neq 0}$, определяется как[1] ${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}=\quad \exp \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\;\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}\right)}$. Приведённые формулы имеют смысл для любых значений весов, кроме случаев, когда некоторые ${\displaystyle x_{i}=0}$ и соответствующие веса ${\displaystyle w_{i}\leq 0}$. Поэтому, как правило, полагают, что все числа ${\displaystyle x_{i}>0}$. Также обычно рассматриваются неотрицательные веса. Если веса ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ нормированы к единице (то есть их сумма равна единице), то среднее геометрическое взвешенное принимает более простой вид: ${\displaystyle {\bar {x}}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\exp \sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln x_{i}}$. Свойства Среднее арифметическое взвешенное логарифмов некоторых чисел равно логарифму среднего геометрического взвешенного этих чисел с теми же весами. Если все веса ${\displaystyle w_{i}}$ (${\displaystyle i=1,2,...,n}$) равны между собой, то среднее геометрическое взвешенное становится обычным средним геометрическим. Пример использования Пусть дано дискретное распределение вероятностей ${\displaystyle P=\{p_{i}|\,i=1,2,...,N\}}$. Обозначим через ${\displaystyle {\overline {N}}}$ среднее геометрическое взвешенное от величин ${\displaystyle 1/p_{i}}$ с весами ${\displaystyle p_{i}}$, т.е. ${\displaystyle {\overline {N}}=\prod _{i=1}^{N}{(1/p_{i})}^{p_{i}}}$. Тогда энтропию Шеннона распределения ${\displaystyle P}$ можно записать в виде ${\displaystyle H(P)=\log {\overline {N}}=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}}$. Величина ${\displaystyle {\overline {N}}}$ интерпретируется как эффективное количество состояний системы. Примечания Репова М. Л., Сазанова Е. В. Общая теория статистики в схемах, формулах, таблицах. — Архангельск: АГТУ, 2007. — 24 с. Архивировано 13 октября 2017 года.