Меню Главная Случайная статья Настройки Среднее степенное Материал из https://ru.wikipedia.org Среднее степени d (или просто среднее степенное) — разновидность среднего значения. Для набора положительных вещественных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ определяется как ${\displaystyle A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{d}]{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{d}}{n}}}.}$ При этом по принципу непрерывности относительно показателя d доопределяются следующие величины: ${\displaystyle A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to 0}A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}};}$ ${\displaystyle A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to +\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\max\{x_{1},\ldots ,x_{n}\};}$ ${\displaystyle A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{d\to -\infty }A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\min\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.}$ Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего. Наряду с понятием «среднее степенное», используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин. Содержание 1 Другие названия 2 Частные случаи 3 Неравенство о средних 3.1 Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом 4 См. также 5 Ссылки Другие названия Так как среднее степени d обобщает известные с древности (т. н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым. По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому. Частные случаи Средние степеней ±1 и 2 имеют собственные имена: ${\displaystyle A_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=m={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$ называется средним арифметическим; (иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, делённая на n) ${\displaystyle A_{-1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=h={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$ называется средним гармоническим. (иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных) ${\displaystyle A_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})=s={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}{n}}}}$ называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square). В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространёнными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения. Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$ этих чисел: ${\displaystyle \operatorname {max} \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{+\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n});}$ ${\displaystyle \operatorname {min} \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}=A_{-\infty }(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$ Неравенство Поцелуйко: ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {x}{y}}}\geq {\frac {nx}{(n-1)x+y}}}$, где ${\displaystyle x,y>0}$ и ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ Доказательство: Умножим числитель и знаменатель левой дроби на ${\displaystyle x^{n-1}}$, после чего применим неравенство Коши в знаменателе: ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {x}{y}}}={\frac {x}{\sqrt[{n}]{x^{n-1}y}}}\geq {\frac {x}{\frac {x+x+\dots +x+y}{n}}}={\frac {nx}{(n-1)x+y}},}$ что заканчивает доказательство. Неравенство о средних Неравенство о средних утверждает, что для любых ${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$ причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}$. Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная ${\displaystyle A_{d}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ по ${\displaystyle d}$ неотрицательна и обращается в ноль только при ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}$ (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений. Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом где каждое из неравенств обращается в равенство только при ${\displaystyle x_{1}=\ldots =x_{n}}$. См. также Неравенство Швейцера Ссылки И. И. Жогин. О средних // Математическое просвещение. Вторая серия. — 1961. — Вып. 6. — С. 217—226.