Меню Главная Случайная статья Настройки Стохастическая матрица Материал из https://ru.wikipedia.org Стохастическая матрица в теории вероятностей — это неотрицательная матрица, в которой сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице. Содержание 1 Определения 2 Замечание 3 Свойства 4 Регулярная стохастическая матрица 4.1 Эргодическая теорема Определения Матрица ${\displaystyle P=(P_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots }$ называется стохастической справа (или просто стохастической), если ${\displaystyle P_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots }$ и ${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{\infty }P_{ij}=1,\quad \forall i}$. Матрица называется стохастической слева, если ${\displaystyle P_{ij}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots }$ и ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }P_{ij}=1,\quad \forall j}$. Матрица называется дважды стохастической, если она стохастическая справа и слева. Замечание Стохастическая справа матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова. Свойства Если ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение ${\displaystyle R=PQ}$ также является матрицей стохастической слева (справа, дважды). Доказательство. Пусть A, B — стохастические матрицы, C = AB. Очевидно, что все элементы матрицы C неотрицательны. Возьмём любое j = 1....n. Тогда ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{ij}=\sum _{i=1}^{n}(\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}(\sum _{i=1}^{n}a_{ik})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}=1}$ , поскольку матрицы A и B стохастические. Регулярная стохастическая матрица Конечная стохастическая матрица ${\displaystyle P=(P_{ij}),\;i,j=1,\ldots ,N}$ называется регулярной, если существует такое ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, что ${\displaystyle p_{ij}^{(n)}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N}$, где ${\displaystyle p_{ij}^{(n)}}$ — элементы ${\displaystyle n}$-ой степени матрицы ${\displaystyle P}$, то есть ${\displaystyle P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)}$. Эргодическая теорема Если ${\displaystyle P}$ — регулярная стохастическая матрица, то найдётся вектор ${\displaystyle \mathbf {\pi } =(\pi _{1},\ldots ,\pi _{N})}$ такой, что ${\displaystyle P^{n}\to \mathbf {1} ^{\top }\mathbf {\pi } }$, где ${\displaystyle \mathbf {1} =(1,\ldots ,1)}$ — вектор размерности ${\displaystyle 1\times N}$, состоящий из единиц.