Меню Главная Случайная статья Настройки Стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных Материал из https://ru.wikipedia.org Стохастическое дифференциальное уравнение в частных производных — обобщение дифференциального уравнения в частных производных за счёт введения случайных сил и коэффициентов аналогично тому, как обыкновенные стохастические дифференциальные уравнения служат обобщением обыкновенных дифференциальных уравнений. Они имеют значение для квантовой теории поля, статистической механики и пространственного моделирования[1][2]. Содержание 1 Примеры 2 Проблемы 3 Примечания 4 Литература 5 Ссылки Примеры Одним из наиболее изучаемых стохастических уравнений в частных производных является стохастическое уравнение теплопроводности[3], которое может быть формально записано как ${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+\xi \;,}$ где ${\displaystyle \Delta }$ обозначает Лапласиан, а ${\displaystyle \xi }$ означает пространственно-временной белый шум. Другие примеры включают в себя стохастические версии известных линейных уравнений, таких как волновое уравнение[4] и уравнение Шредингера[5]. Проблемы Одной из сложностей является их недостаточная регулярность. В одномерном пространстве решения стохастического уравнения теплопроводности являются почти на 1/2 непрерывными по Гёльдеру в пространстве и на 1/4 непрерывными по Гёльдеру во времени. Для размерностей два и выше решения даже не являются функциональными, но их можно интерпретировать как случайные распределения. Для линейных уравнений обычно можно найти мягкое решение с использованием техник полугруппы[6]. Однако проблемы начинаются при рассмотрении нелинейных уравнений. Например, ${\displaystyle \partial _{t}u=\Delta u+P(u)+\xi ,}$ где ${\displaystyle P}$ является полиномом. В этом случае даже неясно, как следует интерпретировать уравнение. Такое уравнение также не будет иметь функциональное решение в размерности больше единицы, а значит, и не будет иметь точечного смысла. Известно, что пространство распределений не имеет структуры произведения. Это основная проблема такой теории. Это приводит к необходимости некоторой формы перенормировки. Ранней попыткой обойти такие проблемы для некоторых конкретных уравнений был так называемый приём да Прато — Дебюше, который заключался в изучении таких нелинейных уравнений как возмущений линейных[7]. Однако этот метод можно использовать только в очень ограниченных условиях, так как он зависит как от нелинейного фактора, так и от регулярности термина воздействующего шума. В последние годы область значительно расширилась, и теперь существует большой арсенал для гарантирования локального существования для различных субкритических стохастических уравнений в частных производных[8]. Примечания Prvt, Claudia. A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations : [англ.] / Claudia Prvt, Michael Rckner. — Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 2007. — ISBN 978-3-540-70780-6. Архивная копия от 29 марта 2020 на Wayback Machine Krainski, Elias T. Advanced Spatial Modeling with Stochastic Partial Differential Equations Using R and INLA / Elias T. Krainski, Virgilio Gmez-Rubio, Haakon Bakka … [и др.]. — Boca Raton, FL : Chapman and Hall/CRC Press, 2018. — ISBN 978-1-138-36985-6. Архивная копия от 29 марта 2020 на Wayback Machine Edwards, S.F.; Wilkinson, D.R. (8 мая 1982). The Surface Statistics of a Granular Aggregate. Proc. R. Soc. Lond. A (англ.). 381 (1780): 17–31. Bibcode:1982RSPSA.381...17E. doi:10.1098/rspa.1982.0056. JSTOR 2397363.{{cite journal}}: Википедия:Обслуживание CS1 (url-status) (ссылка) Walsh, John B. An introduction to stochastic partial differential equations // cole d't de Probabilits de Saint Flour XIV - 1984 : Литература Bain, A. Fundamentals of Stochastic Filtering / A. Bain, D. Crisan. — New York : Springer, 2009. — Vol. 60. — ISBN 978-0387768953. Holden, H. Stochastic Partial Differential Equations: A Modeling, White Noise Functional Approach / H. Holden, B. ksendal, J. Ube … [и др.]. — 2nd. — New York : Springer, 2010. — ISBN 978-0-387-89487-4. — doi:10.1007/978-0-387-89488-1. Xiu, D. Numerical Methods for Stochastic Computations: A Spectral Method Approach. — Princeton University Press, 2010. — ISBN 978-0-691-14212-8. Ссылки A Minicourse on Stochastic Partial Differential Equations  (2006).