Меню Главная Случайная статья Настройки Сумма Минковского Материал из https://ru.wikipedia.org Суммой Минковского двух подмножеств A и B линейного пространства V (или произвольной группы) называется множество C, состоящее из сумм всевозможных векторов из A и B: ${\displaystyle C=\left\{\,c\mid c=a+b,a\in A,b\in B\,\right\}}$ Аналогично определяется произведение множества на число: ${\displaystyle \lambda A=\left\{\,\lambda a\mid a\in A\,\right\}}$ Содержание 1 Свойства 2 О разности Минковского 3 Вариации и обобщения 4 Литература Свойства Если множество A выпукло, то ${\displaystyle (\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A}$ для любых ${\displaystyle \lambda >0}$ и ${\displaystyle \mu >0}$. ${\displaystyle \lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B}$ ${\displaystyle A+B=B+A}$ ${\displaystyle A+\left\{0\right\}=A}$ О разности Минковского Множества с введенной на них суммой Минковского не образуют линейного пространства (даже выпуклые). Это связано с отсутствием обратного элемента (элемент -A, очевидно, таковым не является). Разностью Минковского множеств A и B называется максимальное множество C такое, что ${\displaystyle C+B\subset A}$, но легко видеть, что для многих множеств (например, квадрата и круга) разность Минковского не является операцией, обратной к сумме. Альтернативно можно продолжить сумму Минковского на линейное пространство пар выпуклых множеств (A,B) с отношением эквивалентности ${\displaystyle (A,B)\sim (C,D)\Leftrightarrow A+D=B+C}$ Разность Минковского также называют геометрической разностью множеств. Вариации и обобщения Множество сумм — аналогичное определение для подмножеств групп в аддитивной и арифметической комбинаторике. Наравне с суммами рассматривается произведения множеств ${\displaystyle A\times B=\left\lbrace {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace }$ и другие операции. Литература Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.