Суньига — воспитанник клуба «Америка». В сентябре 2011 года в матче против «Крус Асуль» он дебютировал в мексиканской Примере, заменив во втором тайме Рауля Хименеса. В своём первом сезоне Мартин вышел на поле четыре раза и лишь однажды в стартовом составе. Несмотря на это он стал чемпионом Мексики. Летом 2013 года для получения игровой практики он на правах аренды перешёл в «Чьяпас». 21 июля в матче против «Веракрус» Суньига дебютировал за «ягуаров»[3]. 1 сентября в поединке против «Тихуаны» Мартин забил свой первый гол в Лиге MX[4].
После окончания аренды Суньига вернулся в «Америку». 20 августа 2014 года в матче Лиги чемпионов КОНКАКАФ против пуэрто-риканского «Байямона» Мартин сделал «дубль», забив первые голы за столичную команду[5]. В ответом поединке он сделал первый в профессиональной карьере хет-трик[6]. В том же году Мартин во второй раз стал чемпионом Мексики.
В начале 2016 года Суньига на правах аренды перешёл в «Дорадос де Синалоа». 10 января в поединке против клуба «Чьяпас» он дебютировал за «дорад»[7].
В 2015 году Мартин в составе олимпийской сборной Мексики завоевал серебряные медали Панамериканских игр в Канаде. На турнире он сыграл в матчах против команд Парагвая[8], Тринидада и Тобаго[9], Панамы[10] и Уругвая[11]. В поединках против тринидадцев и парагвайцев Суньига забил два гола.