Меню Главная Случайная статья Настройки Температурные функции Грина Материал из https://ru.wikipedia.org Температурные функции Грина являются некоторой модификацией функций Грина для квантовомеханических систем с температурой отличной от нуля. Они удобны для вычисления термодинамических свойств системы, а также содержат информацию о спектре квазичастиц и о слабонеравновесных кинетических явлениях. В системах со взаимодействием может быть построена соответствующая диаграммная техника для температурных функций Грина. Эта техника широко используется для изучения фазовых переходов (сверхпроводимость, сверхтекучесть, точка Кюри) в различных системах. Исследование подобных систем является нетривиальной задачей. Для описания самого механизма перехода и состояния ниже точки перехода модель невзаимодействующих частиц непригодна. Здесь решающую роль играет межчастичное взаимодействие. Учёт подобного взаимодействия значительно усложняет используемый математический аппарат. Аппарат температурных функций Грина можно развивать в двух эквивалентных формулировках: с помощью квантовомеханических операторов либо в методе функциональных интегралов. Одним из плюсов последнего метода является отсутствие проблем некоммутативности операторов поля и разного рода упорядочиваний. [1] Содержание 1 Операторный подход 1.1 Определение температурных функций Грина 1.2 Случай свободных частиц 1.3 Взаимодействующие частицы 2 Метод функционального интегрирования 2.1 Определение температурной функции Грина 2.2 Случай свободных частиц 2.3 Взаимодействующие частицы 3 Примечания 4 Литература 5 См. также Операторный подход Определение температурных функций Грина Введём мацубаровские ${\displaystyle {\hat {\Psi }}}$ — операторы в «гейзенберговском представлении» соотношениями[2]: В более общем случае эти операторы могут иметь спиновые индексы. В этих формулах ${\displaystyle \tau }$ — вещественная переменная ${\displaystyle \tau \in (0,1/T)}$, поэтому операторы ${\displaystyle {\hat {\Psi }}(\tau ,\mathbf {r} )}$ и ${\displaystyle {\hat {\Psi }}^{\dagger }(\tau ,\mathbf {r} )}$ не являются эрмитово-сопряженными, ${\displaystyle \mu }$ — химический потенциал системы, ${\displaystyle {\hat {H}}}$ — гамильтониан системы, ${\displaystyle {\hat {N}}=\int d\mathbf {r} {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} ){\hat {\psi }}(\mathbf {r} )}$ — оператор числа частиц. Операторы ${\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {r} )}$ и ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{+}(\mathbf {r} )}$ эрмитово-сопряженный операторы поля в шрёденгеровском представлении. Видно, что «гейзенберговское представление» мацубаровских операторов отличается от настоящего гейзенберговского представления заменой в последнем ${\displaystyle t\rightarrow -i\tau }$, то есть формально это можно понимать как переход ко мнимому времени. Температурная функция Грина определяется следующим образом: где символ ${\displaystyle T_{\tau }}$ означает «${\displaystyle \tau }$ — хронологизацию» — расположение операторов слева на право в порядке убывания ${\displaystyle \tau }$. В случае ферми-частиц перестановка между собой операторов приводит к изменению общего знака.[3] С помощью этой функции можно вычислить число частиц как функцию химического потенциала, или химический потенциал, как функцию концентрации и температуры: ${\displaystyle N=\pm \int d\mathbf {r} G(\tau ,\mathbf {r} ;\tau +0,\mathbf {r} ).}$ Случай свободных частиц Гамильтониан свободной системы, выраженный через шрёдингеровские операторы поля, имеет вид[4]: в представлении вторичного квантования он же запишется следующим образом: что следует из определения ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$-операторов: Температурная функция Грина свободных частиц в импульсно-«временном» представлении : здесь ${\displaystyle \xi _{0}(\mathbf {p} )=\varepsilon _{0}(\mathbf {p} )-\mu ,\quad \beta =1/T.}$ Взаимодействующие частицы Предположим, что на систему частиц не действуют внешние поля, а межчастичные взаимодействия носят парный характер. Гамильтониан системы представим в виде: ${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{int}.}$ Введём мацубаровские операторы в представлении взаимодействия соотношениями[5]: Возмущённая часть гамильтониана выраженный через ${\displaystyle {\hat {\Phi }}}$ — операторы имеет вид: Через эти же операторы можно определить температурную функцию Грина: Такая запись позволяет разложить экспоненту с возмущением и вычислять температурную функцию Грина в виде ряды, а каждый член ряда изображать графически в виде диаграммы. Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление. Элементы Диаграммы Аналитическое выражение название изображение 1 Сплошная линия ${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\tau _{1}-\tau _{2})}$ 2 Сплошная линия ${\displaystyle G_{0}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\tau _{2}-\tau _{1})}$ 3 Волнистая линия ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(x_{1}-x_{2})=U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\delta (\tau _{1}-\tau _{2})}$ 4 Изобразить все связные топологически неэквивалентные диаграммы с 2n вершинами и двумя внешними концами, причем в каждой вершине сходится две сплошные и одна волнистая линия. 5 Производится интегрирование по координатам (${\displaystyle d^{4}z=d\mathbf {r} d\tau }$) каждой вершины. 6 Полученное выражение умножается на ${\displaystyle (-1)^{n+F}}$, n-порядок диаграммы, F-число замкнутых фермионных петель в ней. Пользуясь этими правилами изобразим поправку первого порядка по возмущению к температурной функции Грина взаимодействующих частиц. Для этого нужно ограничиться линейным членом в разложение экспоненты. Тогда, привлекая во внимание теорему Вика, нарисуем все связные (любые две точки на диаграмме можно соединить линией) диаграммы первого порядка: Соответствующее аналитическое выражение, например, для диаграммы 2 запишется следующим образом: Для расчётов координатное представление оказывается неудобным, поэтому всю диаграммную технику проще сформулировать в импульсно-частотном представлении, пользуясь обычными правилами фурье-анализа. В таком представлении аналитическое выражение рассматриваемой диаграммы примет вид: где функция Грина свободной системы имеет вид[6]: Правила температурной диаграммной техники. Импульсно-частотное представление. Элементы Диаграммы Аналитическое выражение название изображение 1 Сплошная линия ${\displaystyle G_{0}(\mathbf {p} ,\omega _{n})}$ 3 Волнистая линия ${\displaystyle {\mathfrak {U}}(\mathbf {p} ,\omega _{n})=U(\mathbf {p} )}$ 4 Сопоставить линиям диаграммы внешние импульсы и частоты. Импульсы и частоты внутренних линий в каждой вершине должны удовлетворять законам сохранения ${\displaystyle \sum \mathbf {p} =0,\sum \omega =0}$ 5 По всем независимым импульсам производится интегрирование, по частотам — суммирование. 6 Полученное выражение умножается на ${\displaystyle (-1)^{k}{\frac {T^{k}}{(2\pi )^{3k}}}(2s+1)^{F}(\mp )^{F}}$, k-порядок диаграммы, F-число замкнутых петель в диаграмме, s — спин частицы. В простейшем случае (Л.Ландау) потенциал можно взять в виде ${\displaystyle U(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})\sim \delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}),,}$ что соответствует нулевому радиусу взаимодействия. Графически это соответствует стягиванию двух точек, которые соединены волнистой линией в одну. Метод функционального интегрирования При переходе от классической статистической механики к квантовой, интегрирование по канонически сопряженным переменным ${\displaystyle p,q}$ заменяется на след, то есть на сумму по состояниям.[7] Таким образом, статистическая сумма квантовой системы с оператором Гамильтона ${\displaystyle {\hat {H}}}$ определяется как Видно, что член под знаком суммы похож на матричный элемент оператора эволюции с точностью до замены ${\displaystyle t\rightarrow -i\beta }$. Этот матричный элемент дается формулой Фейнмана-Каца[8]: Обратим внимание на то, что в функциональном интеграле величины ${\displaystyle p,q,H(p,q)}$ являются классическими функциями, и при дальнейших вычислениях не возникает проблемы с коммутационными соотношениями. Сделаем в этой формуле поворот Вика и отождествим ${\displaystyle q\sim \psi (x,\tau ),p\sim i\psi ^{+}(x,\tau )}$, тогда выражений для статистической суммы преобразится к виду: где ${\displaystyle S_{\beta }}$ действие температурной теории, интегрирование ведётся по полям с соответствующими граничными условиями (B.C.) В случае идеального газа Парное взаимодействие можно учесть в виде члена типа плотность-плотность[9] Как было сказано выше объекты ${\displaystyle \psi (x,\tau ),\psi ^{+}(x,\tau )}$ не являются полевыми операторами. В случае фермионов они являются грассмановыми функциями, что является наследием антисимметричности фермионных волновых функций. Определение температурной функции Грина Определим функцию Грина как среднее от произведения нескольких полей с весом ${\displaystyle \exp(-S_{\beta })}$.[10] Так парная корреляционная функция даётся выражением Для корректного определения этого объекта, как можно показать, нужно доопределение ${\displaystyle G(x,x',\tau =\tau ')=G(x,x',\tau =\tau '+0).}$ Случай свободных частиц Вычислим функцию Грина для невзаимодействующих частиц. Как известно[11], для этого нужно найти ядро оператора ${\displaystyle \left(-\partial _{\tau }+{\hat {H}}_{1}\right)^{-1}}$ c учётом граничных условий, то есть решить уравнение Уравнение элементарно решается в ${\displaystyle p-\tau }$ представлении Как видно, эта функция Грина совпадает с функцией Грина полученной с помощью мацубаровских операторов. Доопределение этой функции при совпадающих «временах» означает, что тета-функция в нуле равна нулю. Взаимодействующие частицы Рассмотрим, например, бозоны с межчастичным взаимодействием типа ${\displaystyle U(x-x')=\lambda \delta (x-x'),\lambda >0.}$ Для вычисления по теории возмущений разложим экспоненту со взаимодействием в ряд по параметру ${\displaystyle \lambda }$ и для простоты ограничимся первым порядком[12] Построим соответствующую диаграммную технику Правила температурной диаграммной техники. Координатное представление. Элементы Диаграммы Аналитическое выражение название изображение 1 Крест ${\displaystyle \psi ^{+}(x,\tau )}$ 2 Точка ${\displaystyle \psi (x,\tau )}$ 3 Пропагатор ${\displaystyle {\langle \psi ^{+}(x,\tau )\psi (x',\tau ')\rangle }_{0}=G_{+,0}(x,x',\tau ,\tau ')}$ 4 Пропагатор ${\displaystyle {\langle \psi (x',\tau ')\psi ^{+}(x,\tau )\rangle }_{0}=G_{0,+}(x',x,\tau ',\tau )}$ 3 Вершина ${\displaystyle \left(\psi ^{+}(x,\tau )\psi (x,\tau )\right)^{2}}$ 5 Домножить каждую вершину на ${\displaystyle (-\lambda /2)^{n}r/n!}$, где n-порядок диаграммы, r-симметрийный коэффициент-число топологически эквивалентных графов. 5 По всем координатам вершин производится интегрирование. Изобразим в первом порядке все связные графы . Существует только одна диаграмма, для неё ${\displaystyle r=4}$. Соответствующее аналитическое выражение для поправки это выражение в точности совпадает с полученным ранее в операторном методе. Для рассматриваемого потенциала две диаграммы 1 и 2 становятся эквивалентными, поэтому для получения однопетлевого вклада, нужно выражение для одной из диаграмм умножить на 2. Конечно и в этом случае разумно перейти в импульсное представление. Правила построения диаграмм в импульсном представлении здесь такие же, как и ранее. Примечания Исихара А. Статистическая физика. — М.: Мир, 1973. — С. 408. Литература Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. — Oxford: Clarendon Press, 2002. — ISBN 0-19-850923-5. См. также Квантовополевая теория возмущений в статистической физике Критические явления Квантовый газ Квантовая теория поля Функциональный интеграл Статистическая физика Теория Ландау Теорема Вика для функционального интеграла