Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Гамильтона — Кэли Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Гамильтона — Кэли — классическая теорема линейной алгебры, утверждает, что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Содержание 1 Формулировка 2 Следствия 3 Вариации и обобщения 4 См. также 5 Примечания 6 Литература Формулировка Если ${\displaystyle \ A}$ — квадратная матрица и ${\displaystyle \ c(\lambda )}$ её характеристический многочлен, то ${\displaystyle \ c(A)=0}$. Следствия Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена. Вариации и обобщения характеристический многочлен матрицы делится без остатка на ее минимальный многочлен. характеристический многочлен матрицы имеет те же корни, что и ее минимальный многочлен, и кратностью не ниже. Пусть ${\displaystyle p_{A}(\lambda )}$ — характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle A}$, а матрица ${\displaystyle X}$ коммутирует с ${\displaystyle A}$. Тогда ${\displaystyle p_{A}(X)=M(A-X)}$, где ${\displaystyle M}$ — некоторая матрица, коммутирующая с ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle X}$[1]. Если в характеристическом многочлене ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{m})}$ заменить ${\displaystyle x^{z}}$ на ${\displaystyle A^{z}}$, то получим нулевую матрицу[2]. См. также Минимальный многочлен матрицы Характеристический многочлен матрицы Аннулирующий многочлен Лямбда-матрица Примечания Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 114. Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 116. Литература Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.