Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Гротендика о расщеплении Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Гротендика о расщеплении даёт классификацию голоморфных векторных расслоений над комплексной проективной прямой. А именно, она утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение над ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ является прямой суммой голоморфных 1-мерных расслоений. Содержание 1 История 2 Формулировки 3 Приложения 4 Вариации и обобщения 5 Примечания 6 Литература История Теорема названа в честь Александра Гротендика, доказавшего её в 1957 году.[1] Она эквивалентна теореме, доказанной ранее Джорджем Биркгофом в 1913 году,[2] но была известна уже в 1908 году Йосипу Племелю[3] и в 1905 году Давиду Гильберту.[4] Формулировки Формулировка Гротендика Каждое голоморфное векторное расслоение ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}$ голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений: ${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n}),}$ где ${\displaystyle {\mathcal {O}}(a)}$ обозначает расслоение с классом Черна ${\displaystyle a}$. Более того, это представление единственно с точностью до перестановки слагаемых. Формулировка Биркгофа Обратимая матрица ${\displaystyle M}$, каждая компонента которой является многочленом Лорана от ${\displaystyle z}$, представляется в виде произведения ${\displaystyle M=M^{+}M^{0}M^{-}}$, где матрица ${\displaystyle M^{+}}$ — многочлен от ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle M^{0}}$ — диагональная матрица, и матрица ${\displaystyle M^{-}}$ — многочлен от ${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$. Приложения Теорема Гротендика о расщеплении используется в доказательстве Микалефа и Мура теоремы о сфере для положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях. Вариации и обобщения Тот же результат имеет место для алгебраических векторных расслоений над ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}}$ для любого поля ${\displaystyle k}$.[5] Примечания Grothendieck, Alexander (1957), Sur la classification des fibrs holomorphes sur la sphre de Riemann, American Journal of Mathematics, 79: 121•138, doi:10.2307/2372388. Plemelj, J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 211–245. Hilbert D. Grundzge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen. vierte mitteilung. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1906:157-228. Литература