Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Дворецкого Материал из https://ru.wikipedia.org Tеорема Дворецкого — утверждает, что каждое центрально-симметричное выпуклое множество достаточно высокой размерности имеет сечение, близкое к эллипсоиду. Доказана Арье Дворецким в начале 1960-х годов[1] как ответ на вопрос поставленный Александром Гротендиком. Альтернативное доказательство найдено Виталием Мильманом в 1970-х годах[2], оно послужило одной из отправных точек для развития принципа концентрации меры и асимптотического геометрического анализа[3]. Формулировка Для любого натурального числа ${\displaystyle k}$ и каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое натуральное число ${\displaystyle K}$, что если ${\displaystyle (X,\|{*}\|)}$ — нормированное пространство размерности ${\displaystyle K}$, то существует подпространство ${\displaystyle E\subset X}$ размерности ${\displaystyle k}$ и положительная квадратичная форма ${\displaystyle Q}$ на ${\displaystyle E}$, такая, что: ${\displaystyle \|x\|\leqslant {\sqrt {Q(x)}}\leqslant (1+\varepsilon )\cdot \|x\|}$ для любого ${\displaystyle x\in E}$. Примечания Dvoretzky, A. Some results on convex bodies and Banach spaces // Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces (Jerusalem, 1960) (англ.). — Jerusalem: Jerusalem Academic Press, 1961. — P. 123—160. В. Д. Мильман. Новое доказательство теоремы А. Дворецкого о сечениях выпуклых тел // Функциональный анализ и его приложения. — 1971. — Т. 5, № 4.