Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Каулинга Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Каулинга — теорема о невозможности стационарного осесимметричного МГД-динамо. Другими словами, двумерные или осесимметричные поля скорости проводящей жидкости не могут генерировать постоянно растущее магнитное поле[1]. Содержание 1 Формулировка теоремы 1.1 Плоский случай 1.2 Дипольное поле 1.3 Тороидальное поле 2 Существующие динамо 3 См. также 4 Примечания Формулировка теоремы Стационарное осесимметричное динамо невозможно. Плоский случай Дипольное поле В осесимметричном поле существует линия O-типа (нейтральная), на этой линии поле равно нулю. ${\displaystyle B={\frac {1}{r^{3}}}}$ Пусть поле линейно растет с увеличением R ${\displaystyle (\mathrm {rot} {\vec {B}})_{\varphi }={\frac {\partial B_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}\neq 0,\ {\vec {j}}_{\varphi }\neq 0}$ ${\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=2\pi R{\vec {j}}_{\varphi }\neq 0}$ ${\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}\left[{\vec {E}}+{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {B}}}{c}}\right]\,{\vec {dl}}}$ Пусть ${\displaystyle \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]\neq 0}$, тогда ${\displaystyle v_{z}B_{\varphi }-v_{\varphi }B_{z}\neq 0}$, но на линии O и ${\displaystyle v_{\varphi }}$, и ${\displaystyle B_{z}}$ равны нулю, следовательно, наше предположение неверно, то есть ${\displaystyle \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]=0}$. Тогда имеем ${\displaystyle \oint \limits _{O}{\vec {j}}_{\varphi }\,{\vec {dl}}=\sigma \oint \limits _{O}{\vec {E}}\,{\vec {dl}}=\sigma \int \mathrm {rot} {\vec {E}}\,{\vec {ds}}=-{\frac {\sigma }{c}}\int {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\vec {ds}}=-{\frac {\sigma }{c}}{\frac {d\Phi }{dt}}}$ где введено обозначение для потока магнитного поля через контур: ${\displaystyle \Phi =\int \limits _{0}^{R}2\pi rB_{z}\,dr}$ Таким образом, имеем неравенство ${\displaystyle {\frac {d\Phi }{dt}}\neq 0}$ то есть поток нестационарен, что противоречит определению линии О, откуда можно сделать вывод, что первоначальное предположение неверно, и в дипольном поле существование динамо невозможно. Тороидальное поле Рассмотрим тороидальное магнитное поле ${\displaystyle B_{\varphi }\neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {B_{\varphi }}{r\rho }}\right)={\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rB_{\varphi }\right)\right]+{\frac {\partial ^{2}B_{\varphi }}{\partial z^{2}}}\right\}}$ где ${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi \sigma \rho r}}}$ — коэффициент диффузии. Сравнивая с уравнением диффузии понимаем, что динамо невозможно. Существующие динамо Если условия теоремы не выполняются (то есть поле скорости трёхмерно), то генерация магнитного поля возможна. Существуют многочисленные аналитические и экспериментальные примеры: Динамо Пономаренко — винтовое динамо. ABC-динамо Динамо Гайлитиса — первый успешный динамо-эксперимент. См. также Число Каулинга Примечания Cowling T. G. The Magnetic Field of Sunspots (англ.) // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society : journal. — Oxford University Press, 1933. — Vol. 94. — P. 39—48. — doi:10.1093/mnras/94.1.39. — .