Ru.Wikipedia.Org - Теоремы Кельвина

Меню
Главная
Случайная статья
Настройки

Теоремы Кельвина
Материал из https://ru.wikipedia.org

Теоремы Кельвина — три теоремы в гидродинамике, названные в честь Томсона (Кельвина). Обычно под теоремой Кельвина понимают основную теорему Кельвина о безвихревом движении.

Содержание

Теорема Кельвина о безвихревом движении

В 1849 году Уильям Томсон доказал теорему о минимальной кинетической энергии жидкости:

если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения.

Доказательство первой теоремы Кельвина

Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорость в безвихревом движении потенциальна (v = grad) и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю, как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, пусть Что-то = Что-то_вихр. Что-то_{безвихр.}. Тогда для разности кинетических энергий можно записать:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }[(\mathbf {V} +\mathbf {\Delta \!V} )^{2}-V^{2}]d\tau =\rho \iiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau +{\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau ,

где — плотность жидкости, а — жидкий объём. Рассмотрим далее только первый интеграл справа:

\iiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\Delta \!V} d\tau ,

а, так как div(a) = diva + grad·a, интеграл можно преобразовать так:

\iiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {div} (\varphi \mathbf {\Delta \!V} )d\tau -\iiint \limits _{\tau }\varphi \operatorname {div} (\mathbf {\Delta \!V} )d\tau =\iint \limits _{\sigma }\varphi (\mathbf {\Delta \!V} )_{n}d\sigma -\iiint \limits _{\tau }\varphi \Delta \!(\operatorname {div} \mathbf {V} )d\tau ,

где — поверхность, ограничивающая объём , а индекс n обозначает нормальную составляющую вектора. Из условия теоремы следует, что на поверхности вихревое и безвихревое движения совпадают, т. е. V = 0, кроме того по условию несжимаемости div V = 0. Таким образом, в последнем равенстве все слагаемые равны нулю и для разности кинетических энергий получается:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau >0,

из чего и следует теорема Кельвина.

Кинематическая теорема Кельвина

Кинематическая теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени. Формулировка теоремы такова:

частная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру равна циркуляции ускорения по этому же контуру.

Доказательство второй теоремы Кельвина

Вычислим частную производную по времени от циркуляции скорости по произвольному контуру C, не делая для начала предположения о его замкнутости.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{C}\mathbf {V\delta r} =\int \limits _{C}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {V\cdot \delta r} )=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V\cdot {\frac {d}{dt}}(\delta r)} =\\=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \delta \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\delta \left({\frac {V^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}

Очевидно, при замыкании контура последний интеграл обратится в нуль. Таким образом:

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V}} \cdot \mathbf {\delta r} =\Gamma _{C}(\mathbf {\dot {V}} ).

Теорема Кельвина о баротропной жидкости

Теорему Кельвина о баротропной жидкости также называют основной теоремой Кельвина, которая обосновывает возможность существования безвихревого движения:

при движении

Доказательство третьей теоремы Кельвина

Теорема легко доказывается на основе предыдущей теоремы подстановкой в правую часть выражения для ускорения в случае потенциальных сил:

\mathbf {\dot {V}} =-\operatorname {grad} \Pi

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V}} \cdot \mathbf {\delta r} =-\oint \limits _{C}\operatorname {grad} \Pi \cdot \delta \mathbf {r} =-\oint \limits _{C}\delta \Pi =0,

следовательно,

\Gamma

— постоянная величина.

Теорема была сформулирована и доказана У. Томсоном в 1869 году. Дифференциальной формой Теоремы Кельвина является уравнение вихря.

Литература

Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости, пер. с англ. — М., 1973
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — 7-е изд., испр. — М.: Дрофа, 2003. — 840 с. — (Классики отечественной науки). — ISBN 5-7107-6327-6.