Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
В теории чисел теорема Лагранжа — это утверждение, названное в честь Жозефа-Луи Лагранжа, о том, при каких условиях значение многочлена с целочисленными коэффициентами может быть кратным фиксированному простому числу.
Содержание
Формулировка
|
Если — простое число, — многочлен степени с целочисленными коэффициентами, то[1]:
- либо все коэффициенты кратны
- либо сравнение имеет не более решений.
|
Замечания- Если все коэффициенты кратны то любое значение является решением приведённого сравнения.
- Простота модуля существенна, для составного модуля теорема, вообще говоря, неверна. Например, сравнение: имеет 4 решения[2]:
Доказательство теоремы Лагранжа
Пусть — многочлен над кольцом , полученный из заменой каждого коэффициента соответствующим классом вычетов по модулю
Лемма 1. делится на тогда и только тогда, когда Доказательство. Если делится на то и , по построению, попадает в тот же класс вычетов, что и то есть в нулевой класс. И обратно, если то вычисление даёт результат из класса вычетов, содержащего то есть делится на
Лемма 2. У многочлена если он не нулевой многочлен, не может быть более корней.
Доказательство. Поскольку — простое число, является полем, а ненулевой многочлен степени в любом поле имеет не более корней, потому что каждый корень добавляет в разложение многочлена одночлен
Доказательство теоремы. Если — нулевой многочлен, то это, согласно его построению, означает, что все коэффициенты кратны В противном случае из первой леммы следует, что число несравнимых по модулю решений уравнения совпадает с число корней многочлена которое, по второй лемме, не превышает
Вариации и обобщения
Теорема Лагранжа справедлива не только для многочленов над кольцом целых чисел но для многочленов над любой другой областью целостности[3].
Примечания
- Виноградов, 1952, с. 60.
- Дэвенпорт, 1965, с. 55.
- Математическая энциклопедия, 1982, с. 174.
Литература
|
|