Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Лапласа Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Лапласа — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году[1], хотя частный случай этой теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) был известен ещё Лейбницу. Содержание 1 Формулировка 2 Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1) 3 Следствие 2 (фальшивое разложение определителя) 4 Примечания 5 Литература Формулировка Для начала введём несколько определений. Пусть ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ — матрица размера ${\displaystyle n\times n}$, и пусть выбраны любые ${\displaystyle k}$ строк матрицы ${\displaystyle A}$ с номерами ${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}}$ и любые ${\displaystyle k}$ столбцов с номерами ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}}$. Определитель матрицы, получаемой из ${\displaystyle A}$ вычеркиванием всех строк и столбцов, кроме выбранных, называется минором ${\displaystyle k}$-го порядка, расположенным в строках с номерами ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}$ и столбцах с номерами ${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$. Он обозначается следующим образом: ${\displaystyle M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{1}j_{1}}&a_{i_{1}j_{2}}&\ldots &a_{i_{1}j_{k}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{k}j_{1}}&a_{i_{k}j_{2}}&\ldots &a_{i_{k}j_{k}}\end{pmatrix}}.}$ А определитель матрицы, получаемой вычеркиванием только выбранных строк и столбцов из квадратной матрицы, называется дополнительным минором к минору ${\displaystyle M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$: ${\displaystyle {\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}=\det {\begin{pmatrix}a_{i_{k+1}j_{k+1}}&a_{i_{k+1}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{k+1}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i_{n}j_{k+1}}&a_{i_{n}j_{k+2}}&\ldots &a_{i_{n}j_{n}}\end{pmatrix}},}$ где ${\displaystyle i_{k+1}<\ldots <i_{n}}$ и ${\displaystyle j_{k+1}<\ldots <j_{n}}$ — номера невыбранных строк и столбцов. Алгебраическое дополнение минора ${\displaystyle M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}}$ определяется следующим образом: ${\displaystyle A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}=(-1)^{p+q}{\overline {M}}_{\,j_{1},\ldots ,j_{k}}^{\,i_{1},\ldots ,i_{k}}}$ где ${\displaystyle p=i_{1}+\ldots +i_{k}}$, ${\displaystyle q=j_{1}+\ldots +j_{k}}$. Справедливо следующее утверждение. Теорема Лапласа Пусть выбраны любые ${\displaystyle k}$ строк матрицы ${\displaystyle A}$. Тогда определитель матрицы ${\displaystyle A}$ равен сумме всевозможных произведений миноров ${\displaystyle k}$-го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения. ${\displaystyle \det A=\sum _{j_{1}<\ldots <j_{k}}M_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}}A_{j_{1},\ldots ,j_{k}}^{i_{1},\ldots ,i_{k}},}$ где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов ${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{k}.}$ Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать ${\displaystyle k}$ столбцов из ${\displaystyle n}$, то есть биномиальному коэффициенту ${\displaystyle \textstyle {n \choose k}}$. Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}5&9&1&3\\3&5&0&0\\67&932&1&2\\1&7&0&0\end{bmatrix}}.}$ Выберем вторую и четвертую строки и разложим определитель этой матрицы по теореме Лапласа. Заметим, что в этих строках все миноры второго порядка, кроме ${\displaystyle {\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}}$, содержат нулевые столбцы, т.е. заведомо равны нулю и на сумму в теореме не влияют. Поэтому определитель будет равен: ${\displaystyle |A|=(-1)^{2+4+1+2}\cdot {\begin{vmatrix}3&5\\1&7\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}}=(-1)\cdot 16\cdot (-1)=16}$ Из приведенного примера видно, что теорема Лапласа упрощает вычисление определителей не всех матриц, а только матриц особого вида. Поэтому на практике чаще используются другие методы, например, метод Гаусса. Теорема больше применяется для теоретических исследований. Разложение определителя по строке (столбцу) (Следствие 1) Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения. Пусть ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ — квадратная матрица размера ${\displaystyle n\times n}$. Пусть также задан некоторый номер строки ${\displaystyle i}$ либо номер столбца ${\displaystyle j}$ матрицы ${\displaystyle A}$. Тогда определитель ${\displaystyle A}$ может быть вычислен по следующим формулам: Разложение по ${\displaystyle i}$-й строке: ${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}$ Разложение по ${\displaystyle j}$-му столбцу: ${\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}}$ где ${\displaystyle A_{ij}}$ — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером ${\displaystyle i}$ и столбце с номером ${\displaystyle j}$. ${\displaystyle A_{ij}}$ также называют алгебраическим дополнением к элементу ${\displaystyle a_{ij}}$. Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить ${\displaystyle k}$ равным 1 и выбрать ${\displaystyle i}$-ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.