Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Майерса Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии. Содержание 1 Формулировка 2 Следствия 3 История 4 См. также 5 Примечания Формулировка Если кривизна Риччи полного ${\displaystyle n}$-мерного риманова многообразия ${\displaystyle M}$ ограничена снизу положительной величиной ${\displaystyle (n-1)k}$ при некотором ${\displaystyle k}$, то его диаметр не превосходит ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$. Более того, если диаметр равен ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$, то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны ${\displaystyle k}$. Следствия Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого риманова многообразия ${\displaystyle M}$. В частности, универсальное накрытие ${\displaystyle M}$ конеченолистно и значит фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}M}$ конечна. История Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым[1]. Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны[2] (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса). Теорема доказана Майерсом[англ.][3]. Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году[4]. См. также Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия) Примечания Hopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollstndigen differentialgeometrischen Flche. (German) Comment. Math. Helv. 3 (1931), no. 1, 209–225. Bonnet, Ossian. "Sur quelques proprits des lignes godsiques." CR Acad. Sci. Paris 40 (1855): 1311-1313 Myers, S. B. (1941), Riemannian manifolds with positive mean curvature, Duke Mathematical Journal, 8 (2): 401–404, doi:10.1215/S0012-7094-41-00832-3