Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Планшереля Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Планшереля — утверждение о свойствах преобразования Фурье. Она утверждает, что для всякой функции, квадрат модуля которой интегрируем, существует и однозначно определена с точностью до значений на множестве меры нуль функция, являющаяся её преобразованием Фурье. Была доказана Планшерелем в 1910 году[1]. Играет важную роль в функциональном анализе. Содержание 1 Формулировка 2 См. также 3 Примечания 4 Литература Формулировка Для всякой функции действительного переменного ${\displaystyle f(x)}$, принадлежащей множеству функций, чей квадрат модуля интегрируем ${\displaystyle L^{2}}$ на интервале ${\displaystyle \left(-\infty ,\infty \right)}$, существует такая функция действительного переменного ${\displaystyle g(x)}$, также принадлежащая ${\displaystyle L^{2}}$ на интервале ${\displaystyle \left(-\infty ,\infty \right)}$, что ${\displaystyle \lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx\right|^{2}du=0}$. Также выполняются равенства: ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)\right|^{2}du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}dx}$ и ${\displaystyle \lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du\right|^{2}dx=0}$. Функция ${\displaystyle g(u)}$, являющаяся преобразованием Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$, однозначно определена с точностью до её значений на множестве меры нуль[2]. См. также Преобразование Фурье Lp (пространство) Примечания Plancherel, Michel; Mittag-Leffler (1910), Contribution l'tude de la reprsentation d'une fonction arbitraire par les intgrales dfinies, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877 Н. Винер, Р. Пэли Преобразование Фурье в комплексной области. — М., Наука, 1964. — С. 10—11. Литература C. Бохнер Лекции об интегралах Фурье. — М., Физматлит, 1962. — 360 c.