Меню Главная Случайная статья Настройки Неравенство Птолемея Материал из https://ru.wikipedia.org Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости. Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея. Содержание 1 Формулировка 2 О других доказательствах 3 Следствия 4 Вариации и обобщения 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Формулировка Для любых точек ${\displaystyle A,B,C,D}$ плоскости выполнено неравенство ${\displaystyle AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,}$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle ABCD}$ — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки ${\displaystyle A,B,C,D}$ лежат на одной прямой. Случай равенства также называется тождеством Птолемея. Простейшее доказательство получается с использованием комплексных чисел. Пусть комплексные числа ${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,z_{4}}$ соответствуют точкам ${\displaystyle A,B,C,D}$ плоскости. Тогда неравенство Птолемея равносильно неравенству ${\displaystyle |z_{3}-z_{1}|\cdot |z_{4}-z_{2}|\leq |z_{3}-z_{2}|\cdot |z_{4}-z_{1}|+|z_{3}-z_{4}|\cdot |z_{1}-z_{2}|}$, которое следует из неравенства треугольника для комплексных чисел и тождества ${\displaystyle (z_{3}-z_{1})\cdot (z_{4}-z_{2})=(z_{3}-z_{2})\cdot (z_{4}-z_{1})+(z_{3}-z_{4})\cdot (z_{1}-z_{2})}$. В случае обращения неравенства в равенство слагаемые в правой части должны быть пропорциональны вектору суммы и сонаправлены ему, то есть оба числа ${\displaystyle {\cfrac {(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}{(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}}}$ и ${\displaystyle {\cfrac {(z_{3}-z_{4})(z_{1}-z_{2})}{(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}}}$ должны быть вещественны, положительны, с суммой равной 1 (то есть находятся между 0 и 1). Вещественность означает, что ${\displaystyle {\rm {Im}}{\cfrac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}:{\cfrac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}=0}$, а это - стандартное уравнение окружности. То, что числа между 0 и 1 означает лишь, что точки A и C на этой окружности - не соседние (на обеих дугах между ними должна присутствовать либо точка B, либо точка D). О других доказательствах Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке ${\displaystyle A}$; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$.[1] Существует способ доказательства через прямую Симсона. Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку ${\displaystyle E}$ такую, что ${\displaystyle \angle ABE=\angle DBC}$, а потом через подобие треугольников. Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера. Следствия Теорема Помпею.[2] Рассмотрим точку ${\displaystyle X}$ и правильный треугольник ${\displaystyle ABC}$. Тогда из отрезков ${\displaystyle XA}$, ${\displaystyle XB}$ и ${\displaystyle XC}$ можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка ${\displaystyle X}$ лежит на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$. Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов. Формула Карно Вариации и обобщения Соотношение Бретшнайдера Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots A_{6}}$ произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)[3]), то ${\displaystyle A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6}\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+}$ ${\displaystyle +A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5}\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},}$ причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A_{1}\dots A_{6}}$ — вписанный шестиугольник. Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ и ${\displaystyle \delta }$, касающиеся данной окружности в вершинах ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ выпуклого четырёхугольника ${\displaystyle ABCD}$. Пусть ${\displaystyle t_{\alpha \beta }}$ — длина общей касательной к окружностям ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); ${\displaystyle t_{\beta \gamma },t_{\gamma \delta }}$ и т. д. определяются аналогично. Тогда ${\displaystyle t_{\alpha \beta }t_{\gamma \delta }+t_{\beta \gamma }t_{\delta \alpha }=t_{\alpha \gamma }t_{\beta \delta }}$. Граф Птолемея (см. рис.)[4], См. также Теорема Помпею Теорема Микеля о шести окружностях Примечания Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии Архивная копия от 26 мая 2009 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО. О теореме Д. Помпейю Архивная копия от 17 декабря 2004 на Wayback Machine. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО. Теорема Птолемея . Дата обращения: 17 мая 2011. Архивировано 26 мая 2009 года. Howorka, Edward (1981), A characterization of Ptolemaic graphs (Характеризация графов Птолемея), Journal of Graph Theory, 5 (3): 323–331, doi:10.1002/jgt.3190050314, MR 0625074. Литература