Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Риса — Торина Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Риса — Торина — утверждение о свойствах интерполяционных пространств. Была сформулирована в 1926 году Марселем Рисом[1], и в операторной форме сформулирована и доказана Улофом Ториным[англ.] в 1939 году[2][3]. Согласно теореме, для двух пространств ${\displaystyle (\Omega _{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$ и ${\displaystyle (\Omega _{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$ с мерами ${\displaystyle \mu _{1}}$ и ${\displaystyle \mu _{2}}$ соответственно и двух банаховых пространств комплекснозначных функций ${\displaystyle L_{p}(\Omega _{i})}$, суммируемых с ${\displaystyle p}$-й степенью ${\displaystyle (p\geqslant 1)}$ по мерам ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle (i=1,2)}$, тройка банаховых пространств ${\displaystyle (L_{p_{0}}(\Omega _{1}),L_{p_{1}}(\Omega _{1}),L_{p}(\Omega _{1}))}$ является нормально интерполяционной типа ${\displaystyle \alpha }$ относительно тройки ${\displaystyle (L_{q_{0}}(\Omega _{2}),L_{q_{1}}(\Omega _{2}),L_{q}(\Omega _{1}))}$, если: ${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\alpha }{p_{0}}}+{\frac {\alpha }{p_{1}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1-\alpha }{q_{0}}}+{\frac {\alpha }{q_{1}}}}$, где ${\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}$[4]. (Тройка банаховых пространств ${\displaystyle (A,B,E)}$ является интерполяционной типа ${\displaystyle \alpha }$, где ${\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}$, относительно тройки ${\displaystyle (C,D,F)}$, если она интерполяционна и выполнено неравенство ${\displaystyle \|T\|_{E\rightarrow F}\leqslant c\|T\|_{A\rightarrow C}^{1-\alpha }\|T\|_{B\rightarrow D}^{\alpha }}$[5].) Доказательство теоремы использует теорему о трёх прямых из теории аналитических функций[6]. Примечания Riesz M., Sur les maxima des formes bilineares et sur les fonctionalles linearies, Acta Math., 49 (1926), 465-497 Thorin G. O., An extension of convexity theorem due to M. Riesz, Comm. Sem. Math. Univ. Lund, 4 (1939), 1-5 Thorin G. O., Convexity theorems generalizing those of M. Riesz and Hadamard with some applications, Comm. Sem. Math. Univ. Lund, 9 (1948), 1-58 Крейн, 1978, с. 37. Крейн, 1978, с. 36. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, М., Мир, 1965, т. II, с. 144-148 Литература Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. — М.: Наука, 1978. — 400 с.