Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Слуцкого Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Слуцкого[1] — утверждение теории вероятностей, связывает сходимость по вероятности и сходимость по распределению случайных величин. Установлена Евгением Слуцким в 1925 году[2], но иногда в западной литературе результат относят к Харальду Крамеру (теорема Крамера о сходимости случайных величин). В формулировке для вероятностного пространства ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и случайных величин ${\displaystyle X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R} }$ (${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$), если ${\displaystyle X_{n}}$ сходится по распределению к случайной ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ (${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$), а ${\displaystyle Y_{n}}$ сходится по вероятности к вещественной константе ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ (${\displaystyle Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c}$), то выполнено: ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X+c}$, ${\displaystyle X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}c\cdot X}$. Таким образом, теорема обеспечивает возможность складывать и умножать сходящиеся по распределению и по мере случайные величины. Результат может быть обобщён до произвольной двухместной непрерывной функции: если (в предположениях классической теоремы) имеется непрерывная функция ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$, то: ${\displaystyle f(X_{n},Y_{n})\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}f(X,c)}$. Теорема и обобщение могут быть рассмотрены как прямое следствие теоремы Манна — Вальда[3]. Примечания Шуленин В. П. Математическая статистика. Часть 3. Робастная статистика. — Томск: Издательство НТЛ, 2012. — С. 467. — 520 с. — ISBN 978-5-89503-508-5. Архивировано 20 сентября 2018 года. Slutsky E. ber stochastische Asymptoten und Grenzwerte (нем.) // Metron. — 1925. — Bd. 5, H. 3. — S. 3–89. Биллингсли, 1977, с. 54. Литература