Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Стокса Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса. Содержание 1 Формулировка 2 Частные случаи 2.1 Формула Ньютона — Лейбница 2.2 Теорема Грина 2.3 Формула Кельвина — Стокса 2.4 Формула Остроградского — Гаусса 3 Литература 4 См. также Формулировка Пусть на ориентируемом многообразии ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n}$ заданы положительно ориентированное ограниченное ${\displaystyle p}$-мерное подмногообразие ${\displaystyle \sigma }$ (${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n}$) и дифференциальная форма ${\displaystyle \omega }$ степени ${\displaystyle p-1}$ класса ${\displaystyle C^{1}}$. Тогда если граница подмногообразия ${\displaystyle \partial \sigma }$ положительно ориентирована, то ${\displaystyle \int \limits _{\sigma }d\omega =\int \limits _{\partial \sigma }\omega ,}$ где ${\displaystyle d\omega }$ обозначает внешний дифференциал формы ${\displaystyle \omega }$. Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности — так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологиями де Рама и гомологиями циклов многообразия ${\displaystyle M}$. Частные случаи Формула Ньютона — Лейбница Пусть дана кривая ${\displaystyle l}$ (одномерная цепь), ориентированно направленная от точки ${\displaystyle a}$ к точке ${\displaystyle b}$, в многообразии произвольной размерности. Форма ${\displaystyle \omega }$ нулевой степени класса ${\displaystyle C^{1}}$ — это дифференцируемая функция ${\displaystyle f}$. Тогда формула Стокса записывается в виде ${\displaystyle \int \limits _{l}df=\int \limits _{l}f'\,dx=\int \limits _{a}^{b}f'\,dx=f(b)-f(a).}$ Теорема Грина Иногда называют теоремой Грина — Римана. Пусть ${\displaystyle M}$ — плоскость, а ${\displaystyle D}$ — некоторая её положительно ориентированная ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Пусть форма первой степени, записанная в координатах ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y,}$ — это выражение ${\displaystyle L\,dx+M\,dy.}$ Тогда для интеграла от этой формы по положительно ориентированной (против часовой стрелки) границе области ${\displaystyle D}$ верно ${\displaystyle \ \int \limits _{\partial D}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$ Определяя дифференциальную форму ${\displaystyle \omega =L\,dx+M\,dy}$, найдём её внешний дифференциал: ${\displaystyle d\omega =\left({\dfrac {\partial L}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dx+\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial M}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dy.}$ Принимая во внимание, что ${\displaystyle dx\wedge dx=0}$ и ${\displaystyle dy\wedge dy=0}$: ${\displaystyle d\omega ={\underset {-{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dx\,\wedge \,dy}{\underbrace {{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge dx} }}+{\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge dy=\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}}-{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.}$ Отсюда используя теорему Стокса: ${\displaystyle \int \limits _{\partial D}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$ Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье. Формула Кельвина — Стокса Часто называется просто формулой Стокса. Пусть ${\displaystyle \Sigma }$ — кусочно-гладкая поверхность (${\displaystyle p=2}$) в трёхмерном евклидовом пространстве (${\displaystyle n=3}$), ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура ${\displaystyle \partial \Sigma }$ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность ${\displaystyle \Sigma }$, ограниченную контуром: ${\displaystyle \int \limits _{\Sigma }\mathrm {rot} \,\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,}$ или в координатной записи: ${\displaystyle \iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz.}$ Часто в правой части пишут интеграл по замкнутому контуру.