Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве — важный результат функционального анализа, утверждающий, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде: ${\displaystyle U_{t}=e^{it{\hat {H}}}\quad t\in \mathbb {R} }$, где ${\displaystyle {\hat {H}}}$ — некоторый самосопряженный оператор, а ${\displaystyle t}$ — параметр. Верно и обратное: всякому самосопряженному оператору ${\displaystyle {\hat {H}}}$ с помощью представления Стоуна можно поставить в соответствие сильно непрерывную однопараметрическую группу унитарных операторов. Теорема была доказана американским математиком Маршаллом Стоуном в 1930 году и имела большое значение для становления квантовой механики, а также послужила толчком к созданию теории Купмана — фон Неймана. Сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов обладает следующими свойствами: ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow t_{0}}U_{t}\xi =U_{t_{0}}\xi \quad \forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\xi \in H}$ ${\displaystyle U_{t+s}=U_{t}U_{s}}$. Важность результата для физики заключается в том, что он гарантирует существование и единственность решений уравнений Шрёдингера и Лиувилля, а также сохранение нормировок волновых функций. Ссылки Stone, M. H. (1930), Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 16 (2), National Academy of Sciences: 172–175, ISSN 0027-8424 K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968).