Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Фенхеля — Моро Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Фенхеля — Моро — необходимое и достаточное условие того, что вещественнозначная функция равна своему двоекратному выпуклому сопряжению. При этом для любой функции верно, что ${\displaystyle f^{**}\leqslant f}$[1][2]. Утверждение можно рассматривать как обобщение теоремы о биполяре[англ.][1]. Она используется в теории двойственности для доказательства сильной двойственности (через функцию возмущений[англ.]). Теорема доказана для конечномерного случая Вернером Фенхелем в 1949 году и для бесконечномерного — Жан-Жаком Моро в 1960 году[3]. Утверждение теоремы Пусть ${\displaystyle (X,\tau )}$ будет хаусдорфовым локально выпуклым пространством. Для любой функции со значениями на расширенной числовой прямой ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ следует, что ${\displaystyle f=f^{**}}$, где ${\displaystyle f^{*}}$ — выпуклое сопряжение к ${\displaystyle f}$, тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: ${\displaystyle f}$ является собственной выпуклой функцией[англ.] полунепрерывной снизу и выпуклой функцией, ${\displaystyle f\equiv +\infty }$, или ${\displaystyle f\equiv -\infty }$[1][4][5]. В геометрической формулировке теорема утверждает, что необходимым и достаточным условием того, чтобы надграфик функции был пересечением надграфиков аффинных функций, является выпуклость и замкнутость этой функции[3]. Примечания 1 2 3 Borwein, Lewis, 2006, с. 76–77. Zlinescu, 2002, с. 75–79. 1 2 Тихомиров В. Геометрия выпуклости // Квант. — 2003. — № 4. Lai, Lin, 1988, с. 85–90. Koshi, Komuro, 1983, с. 178–181. Литература Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи. — УМН. — 1968. — Т. 23, № 6(144). — С. 51–116. Стрекаловский А.С. Введение в выпуклый анализ. — Иркутский государственный университет, 2009. Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 9780387295701. Hang-Chin Lai, Lai-Jui Lin. The Fenchel-Moreau Theorem for Set Functions // Proceedings of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1988. — Май (vol. 103). — doi:10.2307/2047532. Shozo Koshi, Naoto Komuro. A generalization of the Fenchel–Moreau theorem // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci.. — 1983. — Т. 59, вып. 5.