Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Фока — Крылова Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Фока — Крылова утверждает, что закон распада квазистационарного состояния полностью определяется энергетическим спектром начального состояния[1]. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство 3 Литература 4 Примечания Формулировка Теорема Фока — Крылова определяет вероятность распада начального состояния квантовой системы следующим образом: ${\displaystyle L(t)=|p(t)|^{2}=\left|\int \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)\,dW(E)\right|^{2},}$ где ${\displaystyle dW(E)=w(E)\,dE}$ — спектр энергии начального состояния. Доказательство Пусть система описывается оператором ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$, который не зависит от времени. Тогда уравнение на собственные числа и собственные функции запишется следующем образом: для дискретного спектра: ${\displaystyle {\hat {H}}(x)\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x),}$ для сплошного спектра: ${\displaystyle {\hat {H}}(x)\psi (E,x)=E\psi (E,x).}$ Пусть в момент времени ${\displaystyle t=0}$ система находится в состоянии ${\displaystyle \psi (x,0)}$, а в момент времени t она будет находиться в состоянии ${\displaystyle \psi (x,t)}$. Эволюция системы будет происходить согласно уравнению Шрёдингера: ${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)={\bar {H}}(x)\psi (x,t).}$ Решение этого уравнения имеет вид ${\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n}C_{n}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}t\right)\psi _{n}(x)+\int C(E)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)\psi (E,x)\,dE.}$ Коэффициенты ${\displaystyle C_{n}}$ и ${\displaystyle C(E)}$ определяются начальными условиями: ${\displaystyle C_{n}=\int \psi _{n}^{*}(x)\psi (0,x)\,dx,\qquad C(E)=\int \psi ^{*}(E,x)\psi (0,x)\,dx.}$ Вероятность нахождения системы в начальном состоянии выражается следующим образом: ${\displaystyle L(t)=|p(t)|^{2}=\left|\int \psi ^{*}(x,0)\psi (x,t)\,dx\right|^{2}=\left|\int \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}Et\right)w(E)\,dE\right|^{2},}$ где ${\displaystyle w(E)=\sum _{n}|C_{n}|^{2}\delta (E-E_{n})+|C(E)|^{2}}$ — спектр начального состояния. Литература В. Фок. Начала квантовой механики. — Л. — С. 374. (недоступная ссылка) Примечания Крылов Н. С., Фок В. . О двух основных толкованиях соотношения неопределенности для энергии и времени // ЖЭТФ. — 1947. — Т. 17, вып. 2. — С. 93—107.