Меню
Главная
Случайная статья
Настройки
|
Теорема Чаплыгина — теорема существования решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит С. А. Чаплыгину (1919 г.)[1]. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.
Содержание
Формулировка теоремы
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием в точке :
|
(1.1)
|
|
(1.2)
|
Чтобы сформулировать теорему Чаплыгина для задачи (1.1—1.2), понадобится ряд определений.
Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (1.1—1.2) называются соответственно функции и , принадлежащие , и такие, что
|
(2.1)
|
|
(2.2)
|
Определение. Классическим решением задачи (1.1—1.2) называется функция , принадлежащая и удовлетворяющая уравнению (1.1) при каждом и начальному условию (1.2).
Теорема (Чаплыгина). Пусть существуют такие нижнее и верхнее решения задачи (1.1—1.2), что
|
(3.1)
|
где . Тогда на отрезке существует по крайней мере одно классическое решение задачи (1.1—1.2), и для каждого решения этой задачи и любого справедливо:
|
(3.2)
|
См. также
Примечания
- Боголюбов, 1983, с. 516.
Литература
|
|