Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема Штольца Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема Штольца — утверждение математического анализа, в некоторых случаях помогающее найти предел последовательности вещественных чисел. Теорема названа в честь опубликовавшего в 1885 году её доказательство австрийского математика Отто Штольца[1]. По своей природе теорема Штольца является дискретным аналогом правила Лопиталя. Содержание 1 Формулировка 2 Доказательство 3 Следствие 4 Примечания 5 Литература Формулировка Пусть ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle b_{n}}$ — две последовательности вещественных чисел, причём ${\displaystyle b_{n}}$ положительна, неограничена и строго возрастает (хотя бы начиная с некоторого члена). Тогда, если существует предел ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}}$, то существует и предел ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$, причём эти пределы равны. Доказательство Ниже приводится доказательство по Фихтенгольцу[2], другое доказательство приведено в книге Архипова, Садовничего и Чубарикова[3]. Допустим сначала, что предел равен конечному числу ${\displaystyle L}$, тогда для любого заданного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такой номер ${\displaystyle N>0}$, что при ${\displaystyle n>N}$ будет иметь место: ${\displaystyle L-{\frac {\varepsilon }{2}}<{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}<L+{\frac {\varepsilon }{2}}}$. Значит, для любого ${\displaystyle n>N}$ все дроби: ${\displaystyle {\frac {a_{N+1}-a_{N}}{b_{N+1}-b_{N}}},{\frac {a_{N+2}-a_{N+1}}{b_{N+2}-b_{N+1}}},...,{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}}$ лежат между этими же границами. Так как знаменатели этих дробей положительны (в силу строго возрастания последовательности ${\displaystyle b_{n}}$), то, по свойству медианты, между теми же границами содержится и дробь: ${\displaystyle {\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}}$, числитель которой есть сумма числителей написанных выше дробей, а знаменатель — сумма всех знаменателей. Итак, при ${\displaystyle n>N}$: ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$. Теперь рассмотрим следующее тождество (проверяемое непосредственно): ${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L={\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}+\left(1-{\frac {b_{N}}{b_{n}}}\right)\left({\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right)}$, откуда имеем ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|\leq \left|{\frac {a_{N}-Lb_{N}}{b_{n}}}\right|+\left|{\frac {a_{n}-a_{N}}{b_{n}-b_{N}}}-L\right|}$. Второе слагаемое при ${\displaystyle n>N}$ становится меньше ${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}}$, первое слагаемое также станет меньше ${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}}$, при ${\displaystyle n>M}$, где ${\displaystyle M}$ — некоторый достаточно большой номер, в силу того, что ${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$. Если взять ${\displaystyle M>N}$, то при ${\displaystyle n>M}$ будем иметь ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-L\right|<\varepsilon }$, что и доказывает наше утверждение. Случай бесконечного предела можно свести к конечному. Пусть, для определённости: ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}}=+\infty }$, из этого следует, что при достаточно больших ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle a_{n}-a_{n-1}>b_{n}-b_{n-1}}$ и ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=+\infty }$, причём последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ строго возрастает (начиная с определённого номера). В этом случае, доказанную часть теоремы можно применить к обратному отношению ${\displaystyle b_{n} \over a_{n}}$: ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {b_{n}-b_{n-1}}{a_{n}-a_{n-1}}}=0}$, откуда и следует, что: ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty }$. Если предел равен ${\displaystyle -\infty }$, то нужно рассмотреть последовательность ${\displaystyle \{-a_{n}\}}$. Следствие Одним из следствий теоремы Штольца является регулярность метода суммирования Чезаро. Это означает, что если последовательность ${\displaystyle a_{n}}$ сходится к числу ${\displaystyle a}$, то последовательность средних арифметических ${\displaystyle {\frac {a_{1}+\dots +a_{n}}{n}}}$ сходится к этому же числу. Примечания Otto Stolz. Vorlesungen ber allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (нем.). — Leipzig: Teubners, 1885. — S. 173—175. Фихтенгольц, 2003. Архипов, Садовничий, Чубариков, 1999. Литература