Меню Главная Случайная статья Настройки Теорема косинусов Материал из https://ru.wikipedia.org Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники. Содержание 1 Формулировка 1.1 Доказательства 2 Следствия 2.1 Для других углов 3 История 4 Вариации и обобщения 4.1 Для евклидовых нормированных пространств 4.2 Для четырёхугольников 4.3 Косвенный аналог для четырёхугольника 4.4 Симплексы 5 См. также 6 Примечания 7 Литература Формулировка Для плоского треугольника со сторонами ${\displaystyle a,b,c}$ и углом ${\displaystyle \alpha }$, противолежащим стороне ${\displaystyle a}$, справедливо соотношение: ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha .}$ Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.[1] Доказательства Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует: ${\displaystyle AD=b\cos \alpha }$, откуда ${\displaystyle DB=c-b\cos \alpha }$. Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC: ${\displaystyle h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)}$ ${\displaystyle h^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)}$ Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и: ${\displaystyle b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(c-b\cos \alpha )^{2}}$ или ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }$. Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному. Выражения для сторон b и c: ${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }$ ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$.