Меню Главная Случайная статья Настройки Сферические теоремы косинусов Материал из https://ru.wikipedia.org Первая и вторая сферические теоремы косинусов устанавливают соотношения между сторонами и противолежащими им углами сферического треугольника. Содержание 1 Формулировка 2 Следствия и применение 3 История 4 См. также 5 Примечания 6 Литература Формулировка Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C имеют следующий вид: ${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,}$ ${\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.}$ Эти две теоремы двойственны по отношению друг к другу, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать одну из них. Доказательство проведём с помощью проекций[1]. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол PMB равен - C, кроме того, ON = R cos c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную OMPN на прямую, содержащую ON. ${\displaystyle {\mbox{pr }}ON={\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP+{\mbox{pr }}PN}$, ${\displaystyle PN\perp OA\Rightarrow {\mbox{pr }}PN=0}$, ${\displaystyle {\mbox{pr }}OM=OM\cos b=R\cos a\cos b}$, ${\displaystyle {\mbox{pr }}MP=PM\cos(\pi -({\frac {\pi }{2}}-\angle MPN))=PM(-\sin \angle MPN)}$ ${\displaystyle =BM\cos \angle PMB(-\sin b)=BM\cos(\pi -C)(-\sin b)=R\sin b\sin a\cos C}$. Подставляем три последних выражения и указанное выше выражение ON = R cos c в первое выражение и получаем: ${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C}$. Теоремы косинусов для двух других сторон, то есть теорему для cos a и теорему для cos b, получаем аналогично, их также можно получить сразу из формулы для стороны c при помощи круговой перестановки букв: ${\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a,A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A}$ Следствия и применение Если угол C — прямой, первая теорема косинусов переходит в сферическую теорему Пифагора: ${\displaystyle \cos c=\cos a\cos b.}$ Хотя для решения косоугольных сферических треугольников обычно используются более удобные формулы, с помощью теоремы косинусов выводится важная для геодезии формула длины ортодромии — кратчайшего расстояния между точками на земной поверхности с известными координатами (в предположении сферичности Земли). Обозначим географические широты двух данных точек ${\displaystyle \varphi _{A}}$ и ${\displaystyle \varphi _{B}}$, разность долгот — ${\displaystyle \Delta \lambda _{AB}}$, кратчайшее расстояние между ними обозначим d, длину дуги в 1 градус — a. Тогда формула длины ортодромии[2]: ${\displaystyle \cos \left({\frac {d}{a}}\right)=\sin \varphi _{A}\cdot \sin \varphi _{B}+\cos \varphi _{A}\cdot \cos \varphi _{B}\cdot \cos \Delta \lambda _{AB}}$ Эта формула сразу получается применением теоремы косинусов к стороне AB сферического треугольника PnAB. Подобная формула справедлива для любой сферической поверхности и поэтому её можно применять также для определения углового расстояния между звёздами по известным их экваториальным координатам[3].