Меню Главная Случайная статья Настройки Теория Линдхарда Материал из https://ru.wikipedia.org Теория Линдхард[1][2] — метод расчета эффекта экранировки электрического поля электронами в твердом теле. Он базируется на квантовой механике (первый порядок теории возмущений) в пpиближении случайных фаз. Экранирование в модели Томаса — Ферми получается как частный случай более общей формулы Линдхарда. В частности, экранирование Томаса — Ферми это не что иное как длинноволновое приближение, а именно когда волновой вектор (величина, обратная характерной длины) намного меньше, чем феpмиевский волновой вектор[2]. В этой статье используется система единиц СГС. Содержание 1 Формула 2 Анализ формулы Линдхард 2.1 Трёхмерный случай 2.1.1 Длинноволновой предел 2.1.2 Статический предел 2.2 Двухмерный случай 2.2.1 Длинноволновой предел 2.2.2 Статический предел 2.3 Одномерный случай 2.3.1 Эксперимент 3 Список литературы 4 Примечания Формула Для продольной диэлектрической функции формула Линдхарда задаётся выражением ${\displaystyle \epsilon (q,\omega )=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{\hbar (\omega +i\delta )+E_{k-q}-E_{k}}}.}$ Здесь ${\displaystyle V_{q}}$ это ${\displaystyle V_{eff}(q)-V_{ind}(q)}$ и ${\displaystyle f_{k}}$ — функции распределения Ферми — Дирака (см. также статистика Ферми-Дирака) для электронов в термодинамическом равновесии. Однако формула Линдхарда справедлива и для неравновесных функций распределения. Анализ формулы Линдхард Чтобы понять формулу Линдхард, давайте рассмотрим несколько предельных случаев в 2 и 3 измерениях. 1-мерным случае считается другим способом. Трёхмерный случай Во-первых, рассмотрим предельный длины волны (${\displaystyle q\to 0}$). Для знаменателя формулы Линдхард, мы получаем ${\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}$, и для числителя формулы Линдхарда, мы получаем ${\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}}$. Подставляя эти выражение в формулу Линдхарда и, взяв предел, получаем ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega _{0})&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1-V_{q}{\frac {q^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1-V_{q}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}\end{alignedat}}}$, где мы использовали ${\displaystyle E_{k}=\hbar \omega _{k}}$, ${\displaystyle V_{q}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}}$ — фурье образ кулоновского потенциала, ${\displaystyle \omega _{pl}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{\epsilon L^{3}m}}}$. (В единицах СИ, замените фактор ${\displaystyle 4\pi }$ на ${\displaystyle 1/\epsilon _{0}}$.) Этот результат совпадает с классической диэлектрической функцией. Во-вторых, рассмотрим статический предел (${\displaystyle \omega +i\delta \to 0}$). Формула Линдхарда принимает вид ${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}}$. Вводя выше равенств для знаменателя и числителя, получаем ${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}$. При условии равновесного распределения Ферми-Дирака, мы получаем ${\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}}$ здесь мы использовали ${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}}$. Поэтому ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {1}{L^{3}}}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{3}}}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa ^{2}}{q^{2}}}.\end{alignedat}}}$ Здесь ${\displaystyle \kappa }$ это трёхмерный волновой вектор отвечающий за экранирование определяемый как ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}}$. Тогда, трёхмерный статический потенциал экранирования кулоновского потенциала задаётся формулой ${\displaystyle V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}+\kappa ^{2}}{q^{2}}}}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}}}{\frac {1}{q^{2}+\kappa ^{2}}}}$. Преобразование Фурье-этой функции дает ${\displaystyle V_{s}(r)=\sum _{q}{{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}(q^{2}+\kappa ^{2})}}e^{i{\vec {q}}\cdot {\vec {r}}}}={\frac {e^{2}}{\epsilon r}}e^{-\kappa r}}$ известный как потенциал Юкавы. Обратите внимание, что в этом Фурье-преобразовании, которое представляет собой сумму по всем ${\displaystyle {\vec {q}}}$ мы использовали выражение для маленьких ${\displaystyle |{\vec {q}}|}$ для каждого значения ${\displaystyle {\vec {q}}}$ что неправильно. Для вырожденного газа(Т=0), энергия Ферми определяется ${\displaystyle E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}}$, так что плотность ${\displaystyle n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{f}\right)^{\frac {3}{2}}}$. При T=0, ${\displaystyle E_{f}\equiv \mu }$ таким образом ${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{f}}}}$. Подставляя это в выражение для 3D экранированного волнового вектора ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{f}}}}}$. Это выражение соответствует формуле для волнового вектора экранировки Томаса-Ферми. Для справки, экранировка Дебая-Хюккеля, которая описывает невырожденный предельный случай приводит к результату ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}}$. Двухмерный случай Во-первых, найдём длинноволновой предел (${\displaystyle q\to 0}$). Для знаменателя формулы Линдхард, ${\displaystyle E_{k-q}-E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}+q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}$, и для числителя, ${\displaystyle f_{k-q}-f_{k}=f_{k}-{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}+\cdots -f_{k}\simeq -{\vec {q}}\cdot \nabla _{k}f_{k}}$. Подставляя их в формулу Линдхард и приняв предел мы получаем ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{k,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar {\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}}{\hbar \omega _{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1+{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{k}{\frac {\partial f_{j}}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{q}L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{pl}^{2}(q)}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}}$ где мы использовали ${\displaystyle E_{k}=\hbar \epsilon _{k}}$, ${\displaystyle V_{q}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}}$ и ${\displaystyle \omega _{pl}^{2}(q)={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}}$. Во-вторых, рассмотрим статический предел (${\displaystyle \omega +i\delta \to 0}$). Формула Линдхарда запишется в виде ${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k}{\frac {f_{k-q}-f_{k}}{E_{k-q}-E_{k}}}}$. Подставим теперь найденные выше выражения для знаменателя и числителя, получаем ${\displaystyle \epsilon (q,0)=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}=1-V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}}$. При условии равновесной функции распределения Ферми-Дирака, мы получаем ${\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}{\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}}$ здесь мы использовали ${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial \epsilon _{k}}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}}$. Поэтому ${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (q,0)&=1+V_{q}\sum _{k,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}{\vec {k}}\cdot {\vec {q}}}{m}}}=1+V_{q}\sum _{k}{\frac {\partial f_{k}}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{k}{f_{k}}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ — это двумерный волновой вектор для экранирования (2D обратная длина экранирования) определяется как ${\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}$. Тогда, в 2D статически экранированный Кулоновского потенциал дается ${\displaystyle V_{s}(q,\omega =0)\equiv {\frac {V_{q}}{\epsilon (q,\omega =0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}}$. Известно, что химический потенциал 2-мерной Ферми-газа дается выражением ${\displaystyle \mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}}$, и ${\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}}$. Так, в 2D волновой вектор экранирования ${\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {m}{\hbar ^{2}\pi }}(1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m})={\frac {2me^{2}}{\hbar ^{2}\epsilon }}f_{k=0}.}$ Обратите внимание, что этот результат не зависит от N. Одномерный случай На этот раз, рассмотрим некоторый обобщенный случай для уменьшения размерности. Чем ниже размерность, тем слабее экранирующий эффект. В пространстве с низкой размерностью некоторые силовые линии проходят через материал барьера, где экранировка отсутствует. Для 1-мерного случая, мы можем предположить, что экранировка влияет только на линии поля, которые располагаются очень близко к оси провода. В реальном эксперименте, мы должны также взять во внимание объемный эффект экранировки, даже если мы имеем дело со случаем 1D. Д. Дэвис примененил теорию экранирования Томаса-Ферми для электронного газа ограниченного одномерным каналом и коаксиальным цилиндром. Для K2Рt(СN)4Cl0.32·2.6 Н20, было установлено, что потенциал в области между нитью и цилиндром варьируется как ${\displaystyle e^{-k_{eff}r}/r}$ и его эффективная длина экранировки в 10 раз больше чем для металлической платины. Список литературы Haug, Hartmut. Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors (4th ed.) (англ.). — World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2004. — ISBN 981-238-609-2. Д. Дэвис Томаса-Ферми скрининг в одном измерении, физ. Откр. Б, 7(1), 129, (1973) Примечания Lindhard, J. On the properties of a gas of charged particles (неопр.) // Danske Matematisk-fysiske Meddeleiser. — Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, 1954. — Т. 28, № 8. — С. 1—57. Архивировано 23 ноября 2018 года. 1 2 N. W. Ashcroft and N. D. Mermin, Solid State Physics (Thomson Learning, Toronto, 1976)