Меню Главная Случайная статья Настройки Тор (поверхность) Материал из https://ru.wikipedia.org Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её[1]. Обобщённо, тор — топологическое пространство или гладкое многообразие, эквивалентное такой поверхности. Иногда не требуют, чтобы ось вращения не пересекала образующую окружность. В таком случае, если ось вращения пересекает образующую окружность (или касается её), то тор называют закрытым, иначе открытым[2]. Понятие тора определяется и в многомерном случае. Тор является примером коммутативной алгебраической группы и примером группы Ли. Содержание 1 История 2 Ось тора 3 Топологические свойства 4 Уравнения 4.1 Параметрическое 4.2 Алгебраическое 5 Кривизна поверхности 6 Групповая структура 7 Свойства 7.1 Сечения 8 Обобщения 8.1 Многомерный тор 8.2 Поверхность вращения 9 См. также 10 Примечания 11 Литература История Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси. Ось тора Ось вращения может пересекать окружность, касаться её и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем — открытым, или кольцом[2]. Изменение расстояния до оси вращения Окружность, состоящая из центров образующих окружностей, называется направляющей окружностью. Топологические свойства Тор является поверхностью рода 1 (сфера с одной ручкой). Тор является компактным топологическим пространством. Тор имеет характеристику Эйлера — Пуанкаре =0. Уравнения Параметрическое Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде: ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(\varphi ,\psi )=&(R+r\cos \psi )\cos \varphi \\y(\varphi ,\psi )=&(R+r\cos \psi )\sin \varphi \\z(\varphi ,\psi )=&r\sin \psi \\\end{matrix}}\right.\qquad \varphi \in [0,2\pi ),\psi \in [-\pi ,\pi )}$ Алгебраическое Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень: ${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}-4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0}$ Такая поверхность имеет четвёртый порядок. Существуют другие поверхности, диффеоморфные тору, имеющие другой порядок. ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x+1}$, где x, y комплексные числа. Комплексная эллиптическая кривая, кубическая поверхность. ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=1\\z^{2}+t^{2}=1\\\end{matrix}}\right.}$ Вложение тора в 4-мерное пространство. Это поверхность 2 порядка. Кривизна этой поверхности равна 0. Кривизна поверхности Тор в трёхмерном пространстве имеет точки положительной и отрицательной кривизны. В соответствии с теоремой Гаусса-Бонне интеграл кривизны по всей поверхности тора равен нулю. Групповая структура