Меню Главная Случайная статья Настройки Транспозиционная матрица Материал из https://ru.wikipedia.org Транспозиционная матрица Tr(X) - это квадратная матрица размера n, равного целой степени 2, каждый элемент Tr(X)ij которой содержит один из элементов {x} заданного вектора X размера n, индекс которого равен единице плюс побитовое сложение по модулю 2 (XOR) номера строки i минус единица и номер столбца j минус единица элемента Tr(X)ij. Содержание 1 Формула 2 Свойство четвёрок 3 Другие свойства 4 Транспозиционная матрица со взаимно ортогональными строками 5 Пример получения матрицы Trs 6 Примечания 7 Литература 8 Ссылки Формула Таким образом, формула, по которой вычисляются элементы матрицы Tr(X), выглядит следующим образом: ${\displaystyle Tr(X)_{i,j}=x_{1+(i-1)\oplus (j-1)}}$ где ${\displaystyle i,j\in [1,n]}$ и символом ${\displaystyle \oplus }$ обозначена битовая операция «сложение по модулю 2. Например, транспозиционная матрица ${\displaystyle Tr(X)}$, полученная из вектора: ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8}\\\end{pmatrix}}}$ имеет вид: ${\displaystyle Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5}&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}}$. Свойство четвёрок Произвольная пара строк строки (или пара столбцов) транспозиционной матрицы содержит ${\displaystyle n/2}$ четвёрок из элементов с равными значениями диагональных элементов. Например, если ${\displaystyle Tr_{p,q}}$ и ${\displaystyle Tr_{u,q}}$ — два случайно выбранных элемента из одного столбца ${\displaystyle q}$ матрицы ${\displaystyle Tr}$, то из этого свойства следует, что ${\displaystyle Tr}$-матрица содержит четвёрку из элементов ${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$, для которой выполняются уравнения ${\displaystyle Tr_{p,q}=Tr_{u,v}}$ и ${\displaystyle Tr_{u,q}=Tr_{p,v}}$. Это свойство «свойство четвёрок» является специфическим для ${\displaystyle Tr}$-матриц. Другие свойства Матрица Tr(X) является симметричной матрицей Матрица Tr(X) является персимметричной матрицей, то есть она также симметрична относительно своей второй диагонали Транспозиционная матрица со взаимно ортогональными строками Свойство четвёрок позволяет получить из транспозиционной матрицы ${\displaystyle Tr}$ матрицу со взаимно ортогональными строками ${\displaystyle Trs}$ путём изменения знака нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок ${\displaystyle (Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})}$, ${\displaystyle p,q,u,v\in [1,n]}$. Существует алгоритм построения ${\displaystyle Trs}$-матрицы с использованием покомпонентного произведения матрицы ${\displaystyle Tr}$ и ${\displaystyle n}$-мерной матрицы Адамара ${\displaystyle H=(h_{ij})}$, строки которой (кроме первой) переставлены таким образом, что строки результирующей матрицы ${\displaystyle Trs}$ взаимно ортогональны: ${\displaystyle Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)}$ ${\displaystyle Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n}}$ где: «${\displaystyle \circ }$» — произведение Адамара, ${\displaystyle I_{n}}$ — единичная матрица, ${\displaystyle H(R)}$ — ${\displaystyle n}$-мерная матрица Адамара с перестановкой строк ${\displaystyle R=[1,r_{2},...r_{n}]^{T},r_{2},...r_{n}\in [2,n]}$, которая меняет знак нечётному количеству элементов в каждой из четвёрок; ${\displaystyle X}$ — вектор, из которого выводятся элементы ${\displaystyle Tr}$-матрицы. Порядок ${\displaystyle R}$ строк матрицы Адамара был получен экспериментально для матриц ${\displaystyle Trs}$ размеров 2, 4 и 8. Порядок ${\displaystyle R}$ строк матрицы Адамара (относительно матрицы Сильвестра — Адамара) не зависит от вектора ${\displaystyle X}$. Было доказано[1], что если ${\displaystyle X}$ — единичный вектор (${\displaystyle \parallel X\parallel =1}$), то ${\displaystyle det(Trs)=-1}$. Пример получения матрицы Trs Транспозиционная матрица с взаимно ортогональными строками ${\displaystyle Trs(X)}$ при ${\displaystyle n=4}$, получается из вектора ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix}}}$ по формуле: ${\displaystyle Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&-x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}}$, где ${\displaystyle Tr(X)}$ — ${\displaystyle Tr}$ матрица, полученная из вектора ${\displaystyle X}$, H(R) — матрица Адамара со сдвигом строк в заданном порядке R, для которого строки результирующей Матрицы Trs взаимно ортогональны. Первая строка результирующей матрицы ${\displaystyle Trs(X)}$ содержит элементы вектора ${\displaystyle X}$ без перестановок и перемен знака. Учитывая, что строки матрицы ${\displaystyle Trs}$ взаимно ортогональны: ${\displaystyle Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T}}$, следовательно, матрица ${\displaystyle Trs}$ вращает вектор ${\displaystyle X}$, из которого она получена, в направлении оси ${\displaystyle x_{1}}$. Порядок ${\displaystyle R}$ строк матрицы Адамара не зависит от вектора ${\displaystyle X}$. Опубликованы примеры генерации матриц ${\displaystyle Tr}$ и ${\displaystyle Trs}$ для ${\displaystyle n=2,4,8}$. Остаётся открытым вопрос, можно ли создать матрицы Trs размера больше 8. Примечания Zhelezov O. I. Determination of a Special Case of Symmetric Matrices and Their Applications. Current Topics on Mathematics and Computer Science Vol. 6, 29-45 ISBN= 978-93-91473-89-1 Литература Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu). Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 560 с. — ISBN 5-9221-0524-8.; (2-е изд.). — М.: Наука, 1966 (djvu). Голуб Дж. (Gene H. Golub), Ван Лоун Ч. (Charles F. Van Loan) Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. — 548 с. — ISBN 5-03-002406-9 Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — 9-е изд. — М.: Наука, 1968. — 432 с. Ссылки http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html