Меню Главная Случайная статья Настройки Транспонированная матрица Материал из https://ru.wikipedia.org Транспонированная матрица — матрица ${\displaystyle A^{T}}$, полученная из исходной матрицы ${\displaystyle A}$ заменой строк на столбцы. Формально, транспонированная матрица для матрицы ${\displaystyle A}$ размеров ${\displaystyle m\times n}$ — матрица ${\displaystyle A^{T}}$ размеров ${\displaystyle n\times m}$, определённая как ${\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}}$. Например, ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$ То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке. Свойства транспонированных матриц Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А. ${\displaystyle (A^{T})^{T}=A}$ Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц. ${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$ Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке. ${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$ При транспонировании можно выносить скаляр. ${\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}$ Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы. ${\displaystyle \det A=\det A^{T}}$ Связанные определения Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению ${\displaystyle S^{T}=S}$. Для того чтобы матрица ${\displaystyle S}$ была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы: матрица ${\displaystyle S}$ была квадратной; элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны, то есть ${\displaystyle S_{ij}=S_{ji}}$. Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению ${\displaystyle A^{T}=-A}$. Для того чтобы матрица ${\displaystyle A}$ была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы: матрица ${\displaystyle A}$ была квадратной; элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть ${\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}$. Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: ${\displaystyle A_{ii}=0}$. Для любой квадратной матрицы ${\displaystyle M}$ имеется представление ${\displaystyle M=S+A}$, где ${\displaystyle S={\frac {M+M^{T}}{2}}}$ — симметричная часть, ${\displaystyle A={\frac {M-M^{T}}{2}}}$ — антисимметричная часть. См. также Сопряжённо-транспонированная матрица