Меню Главная Случайная статья Настройки Третья квадратичная форма Материал из https://ru.wikipedia.org Третья квадратичная форма — один из способов описывать кривизны поверхности. Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbf {I\!I\!I} }$. Определение Пусть ${\displaystyle S}$ обозначает оператор формы гладкой поверхности ${\displaystyle \Sigma }$. Кроме того, пусть ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — элементы касательного пространства ${\displaystyle T_{p}}$ в точке ${\displaystyle p\in \Sigma }$. Третья фундаментальная форма определяется как следующее скалярное произведение ${\displaystyle \mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle S(u),S(v)\rangle .}$ Свойства Третья квадратичная форма не зависит от знака нормали поверхности. (Это отличает её от второй квадратичной формы, которая меняет знак при смене знака нормали) Третья квадратичная форма выражается через первую и вторую квадратичную форму. ${\displaystyle \mathbf {I\!I\!I} -2\cdot H\cdot \mathbf {I\!I} +K\cdot \mathbf {I} =0,}$ где ${\displaystyle H}$ — средняя кривизна поверхности и ${\displaystyle K}$ — гауссова кривизна поверхности. Поскольку оператор формы самосопряжён, для ${\displaystyle u,v\in T_{p}(M)}$ мы имеем ${\displaystyle \mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle }$. См. также Первая квадратичная форма Вторая квадратичная форма